次の9つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int xe^{2x} dx$ (2) $\int \log(2x+1) dx$ (3) $\int (2x-1)\log x dx$ (4) $\int (x+1)e^x dx$ (5) $\int x^2 \sin x dx$ (6) $\int x^2 e^x dx$ (7) $\int x^2 (\log x)^2 dx$ (8) $\int e^{-x} \sin x dx$ (9) $\int e^{2x} \cos 3x dx$

はい、承知いたしました。画像に記載されている9つの不定積分を求めます。

1. 問題の内容

次の9つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int xe^{2x} dx$

(2) $\int \log(2x+1) dx$

(3) $\int (2x-1)\log x dx$

(4) $\int (x+1)e^x dx$

(5) $\int x^2 \sin x dx$

(6) $\int x^2 e^x dx$

(7) $\int x^2 (\log x)^2 dx$

(8) $\int e^{-x} \sin x dx$

(9) $\int e^{2x} \cos 3x dx$

2. 解き方の手順

各積分を個別に計算します。部分積分、置換積分などのテクニックを用います。

(1) $\int xe^{2x} dx$

部分積分を行います。$u = x$, $dv = e^{2x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$ となります。

$\int xe^{2x} dx = x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} dx = \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C = \frac{1}{4}(2x-1)e^{2x} + C$

(2) $\int \log(2x+1) dx$

部分積分を行います。$u = \log(2x+1)$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{2}{2x+1} dx$, $v = x$ となります。

$\int \log(2x+1) dx = x\log(2x+1) - \int \frac{2x}{2x+1} dx = x\log(2x+1) - \int (1 - \frac{1}{2x+1}) dx = x\log(2x+1) - x + \frac{1}{2}\log(2x+1) + C = (x+\frac{1}{2})\log(2x+1) - x + C$

(3) $\int (2x-1)\log x dx$

部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = (2x-1) dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x^2 - x$ となります。

$\int (2x-1)\log x dx = (x^2-x)\log x - \int (x^2-x)\frac{1}{x} dx = (x^2-x)\log x - \int (x-1) dx = (x^2-x)\log x - \frac{1}{2}x^2 + x + C$

(4) $\int (x+1)e^x dx$

部分積分を行います。$u = x+1$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = dx$, $v = e^x$ となります。

$\int (x+1)e^x dx = (x+1)e^x - \int e^x dx = (x+1)e^x - e^x + C = xe^x + C$

(5) $\int x^2 \sin x dx$

部分積分を2回行います。

$u = x^2$, $dv = \sin x dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = -\cos x$ となります。

$\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + \int 2x \cos x dx$

次に、$u = 2x$, $dv = \cos x dx$ とすると、$du = 2 dx$, $v = \sin x$ となります。

$\int 2x \cos x dx = 2x \sin x - \int 2 \sin x dx = 2x \sin x + 2\cos x + C$

したがって、$\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C$

(6) $\int x^2 e^x dx$

部分積分を2回行います。

$u = x^2$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = e^x$ となります。

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx$

次に、$u = 2x$, $dv = e^x dx$ とすると、$du = 2 dx$, $v = e^x$ となります。

$\int 2x e^x dx = 2x e^x - \int 2 e^x dx = 2x e^x - 2e^x + C$

したがって、$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$

(7) $\int x^2 (\log x)^2 dx$

部分積分を行います。$u = (\log x)^2$, $dv = x^2 dx$ とすると、$du = \frac{2\log x}{x} dx$, $v = \frac{1}{3}x^3$ となります。

$\int x^2 (\log x)^2 dx = \frac{1}{3}x^3 (\log x)^2 - \int \frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{2\log x}{x} dx = \frac{1}{3}x^3 (\log x)^2 - \frac{2}{3} \int x^2 \log x dx$

さらに部分積分を行います。$u = \log x$, $dv = x^2 dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{1}{3}x^3$ となります。

$\int x^2 \log x dx = \frac{1}{3}x^3 \log x - \int \frac{1}{3}x^3 \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{1}{3}x^3 \log x - \frac{1}{9}x^3 + C$

したがって、$\int x^2 (\log x)^2 dx = \frac{1}{3}x^3 (\log x)^2 - \frac{2}{3}(\frac{1}{3}x^3 \log x - \frac{1}{9}x^3) + C = \frac{1}{3}x^3 (\log x)^2 - \frac{2}{9}x^3 \log x + \frac{2}{27}x^3 + C$

(8) $\int e^{-x} \sin x dx$

部分積分を2回行います。

$u = \sin x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = \cos x dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

$\int e^{-x} \sin x dx = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x dx$

次に、$u = \cos x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = -\sin x dx$, $v = -e^{-x}$ となります。

$\int e^{-x} \cos x dx = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x dx$

したがって、$\int e^{-x} \sin x dx = -e^{-x} \sin x - e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x dx$

$2 \int e^{-x} \sin x dx = -e^{-x} \sin x - e^{-x} \cos x + C$

$\int e^{-x} \sin x dx = -\frac{1}{2}e^{-x} (\sin x + \cos x) + C$

(9) $\int e^{2x} \cos 3x dx$

部分積分を2回行います。

$u = \cos 3x$, $dv = e^{2x} dx$ とすると、$du = -3\sin 3x dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$ となります。

$\int e^{2x} \cos 3x dx = \frac{1}{2}e^{2x} \cos 3x + \frac{3}{2} \int e^{2x} \sin 3x dx$

次に、$u = \sin 3x$, $dv = e^{2x} dx$ とすると、$du = 3\cos 3x dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$ となります。

$\int e^{2x} \sin 3x dx = \frac{1}{2}e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{2} \int e^{2x} \cos 3x dx$

したがって、$\int e^{2x} \cos 3x dx = \frac{1}{2}e^{2x} \cos 3x + \frac{3}{2}(\frac{1}{2}e^{2x} \sin 3x - \frac{3}{2} \int e^{2x} \cos 3x dx)$

$\int e^{2x} \cos 3x dx = \frac{1}{2}e^{2x} \cos 3x + \frac{3}{4}e^{2x} \sin 3x - \frac{9}{4} \int e^{2x} \cos 3x dx$

$\frac{13}{4} \int e^{2x} \cos 3x dx = \frac{1}{2}e^{2x} \cos 3x + \frac{3}{4}e^{2x} \sin 3x + C$

$\int e^{2x} \cos 3x dx = \frac{4}{13} (\frac{1}{2}e^{2x} \cos 3x + \frac{3}{4}e^{2x} \sin 3x) + C = \frac{1}{13} e^{2x} (2\cos 3x + 3\sin 3x) + C$

3. 最終的な答え

以下に、各不定積分の答えをまとめます。

(1) $\int xe^{2x} dx = \frac{1}{4}(2x-1)e^{2x} + C$

(2) $\int \log(2x+1) dx = (x+\frac{1}{2})\log(2x+1) - x + C$

(3) $\int (2x-1)\log x dx = (x^2-x)\log x - \frac{1}{2}x^2 + x + C$

(4) $\int (x+1)e^x dx = xe^x + C$

(5) $\int x^2 \sin x dx = -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C$

(6) $\int x^2 e^x dx = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$

(7) $\int x^2 (\log x)^2 dx = \frac{1}{3}x^3 (\log x)^2 - \frac{2}{9}x^3 \log x + \frac{2}{27}x^3 + C$

(8) $\int e^{-x} \sin x dx = -\frac{1}{2}e^{-x} (\sin x + \cos x) + C$

(9) $\int e^{2x} \cos 3x dx = \frac{1}{13} e^{2x} (2\cos 3x + 3\sin 3x) + C$