問題は、以下の2つの不定積分を計算することです。 (1) $\int x\sqrt{x+1} dx$ (2) $\int \frac{2x+1}{\sqrt{x-1}} dx$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの不定積分を計算することです。

(1) $\int x\sqrt{x+1} dx$

(2) $\int \frac{2x+1}{\sqrt{x-1}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int x\sqrt{x+1} dx$

$t = x+1$ と置換します。すると、$x = t-1$ であり、$dx = dt$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int (t-1)\sqrt{t} dt = \int (t^{3/2} - t^{1/2}) dt$

各項を積分します。

$\int t^{3/2} dt = \frac{2}{5}t^{5/2} + C_1$

$\int t^{1/2} dt = \frac{2}{3}t^{3/2} + C_2$

よって、

$\int (t^{3/2} - t^{1/2}) dt = \frac{2}{5}t^{5/2} - \frac{2}{3}t^{3/2} + C$

$t = x+1$ を代入して、

$\frac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C = \frac{2}{15}(x+1)^{3/2}[3(x+1) - 5] + C = \frac{2}{15}(x+1)^{3/2}(3x-2) + C$

(2) $\int \frac{2x+1}{\sqrt{x-1}} dx$

$t = \sqrt{x-1}$ と置換します。すると、$x = t^2 + 1$ であり、$dx = 2t dt$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{2(t^2+1)+1}{t} 2t dt = \int (2t^2+3)2 dt = \int (4t^2+6) dt$

各項を積分します。

$\int 4t^2 dt = \frac{4}{3}t^3 + C_1$

$\int 6 dt = 6t + C_2$

よって、

$\int (4t^2+6) dt = \frac{4}{3}t^3 + 6t + C$

$t = \sqrt{x-1}$ を代入して、

$\frac{4}{3}(x-1)^{3/2} + 6\sqrt{x-1} + C = \frac{2}{3}\sqrt{x-1}[2(x-1) + 9] + C = \frac{2}{3}\sqrt{x-1}(2x+7) + C$

(3) $\int \frac{x}{\sqrt{2-x}} dx$

$t = \sqrt{2-x}$ と置換します。すると、$x = 2-t^2$ であり、$dx = -2t dt$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{2-t^2}{t} (-2t) dt = \int (2t^2 - 4) dt$

各項を積分します。

$\int 2t^2 dt = \frac{2}{3}t^3 + C_1$

$\int 4 dt = 4t + C_2$

よって、

$\int (2t^2-4) dt = \frac{2}{3}t^3 - 4t + C$

$t = \sqrt{2-x}$ を代入して、

$\frac{2}{3}(2-x)^{3/2} - 4\sqrt{2-x} + C = \frac{2}{3}\sqrt{2-x}[(2-x)-6] + C = \frac{2}{3}\sqrt{2-x}(-x-4) + C = -\frac{2}{3}\sqrt{2-x}(x+4) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x\sqrt{x+1} dx = \frac{2}{15}(3x-2)(x+1)^{3/2} + C$

(2) $\int \frac{2x+1}{\sqrt{x-1}} dx = \frac{2}{3}(2x+7)\sqrt{x-1} + C$

(3) $\int \frac{x}{\sqrt{2-x}} dx = -\frac{2}{3}(x+4)\sqrt{2-x} + C$