与えられた関数 $f(x) = \sqrt{1 + \cos^2x}$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \sqrt{1 + \cos^2x}$ の導関数 $f'(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分公式を使います。$u = 1 + \cos^2x$ とおくと、$f(x) = \sqrt{u}$ となります。したがって、

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

となります。

$\frac{df}{du} = \frac{d}{du} (\sqrt{u}) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

次に、$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (1 + \cos^2x)$ を計算します。$\cos^2x = (\cos x)^2$ であることに注意して、再び合成関数の微分公式を用います。$v = \cos x$ とおくと、$u = 1 + v^2$ となります。したがって、

$\frac{du}{dx} = \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

$\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv} (1 + v^2) = 2v = 2 \cos x$

$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x$

よって、$\frac{du}{dx} = 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -2 \sin x \cos x$ となります。

ここで、三角関数の公式 $2 \sin x \cos x = \sin(2x)$ を用いると、

$\frac{du}{dx} = -\sin(2x)$

となります。

したがって、

$\frac{df}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 + \cos^2x}} \cdot (-\sin(2x)) = -\frac{\sin(2x)}{2\sqrt{1 + \cos^2x}}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{\sin(2x)}{2\sqrt{1 + \cos^2x}}$