関数 $y = \sin x - \cos x$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x - \cos x$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を利用します。

$y = \sin x - \cos x$ を $r\sin(x + \alpha)$ の形に変形します。

係数 $r$ は $r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ であり、

$\alpha$ は $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす角なので、$\alpha = -\frac{\pi}{4}$ となります。

したがって、

$$y = \sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$$

となります。

$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ の範囲は $-1 \le \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \le 1$ なので、

$y$ の範囲は $-\sqrt{2} \le y \le \sqrt{2}$ となります。

$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1$ のとき、最大値 $y = \sqrt{2}$ をとり、

$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -1$ のとき、最小値 $y = -\sqrt{2}$ をとります。

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{2}$

最小値: $-\sqrt{2}$