与えられた関数を微分せよ。与えられた関数は $(\sqrt{1+\cos^3x})'$ である。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分せよ。与えられた関数は

$(\sqrt{1+\cos^3x})'$

である。

2. 解き方の手順

この関数を微分するには、合成関数の微分法（チェーンルール）を使用します。

$y = \sqrt{1 + \cos^3 x}$

とします。すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$

ここで、

$u = 1 + \cos^3 x$

$v = \cos x$

とおくと、

$y = \sqrt{u}$

$u = 1 + v^3$

$v = \cos x$

となります。

それぞれの微分は、

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$\frac{du}{dv} = 3v^2$

$\frac{dv}{dx} = -\sin x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 + \cos^3 x}} \cdot 3\cos^2 x \cdot (-\sin x)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-3\cos^2 x \sin x}{2\sqrt{1 + \cos^3 x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{-3\cos^2 x \sin x}{2\sqrt{1 + \cos^3 x}}$