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関数 $f(x) = x^{\frac{1}{n}}$ の導関数を求める問題です。

解析学導関数微分べき乗の微分関数の微分
2025/6/5

1. 問題の内容

関数 f(x)=x1nf(x) = x^{\frac{1}{n}} の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

べき乗の微分公式を用います。べき乗の微分公式は、関数 f(x)=xrf(x) = x^r (r は実数) の導関数が f′(x)=rxr−1f'(x) = r x^{r-1} で与えられるというものです。
この公式を f(x)=x1nf(x) = x^{\frac{1}{n}} に適用すると、以下のようになります。
f′(x)=1nx1n−1f'(x) = \frac{1}{n} x^{\frac{1}{n} - 1}
指数部分を整理します。
1n−1=1n−nn=1−nn\frac{1}{n} - 1 = \frac{1}{n} - \frac{n}{n} = \frac{1-n}{n}
したがって、
f′(x)=1nx1−nnf'(x) = \frac{1}{n} x^{\frac{1-n}{n}}

3. 最終的な答え

1nx1−nn\frac{1}{n} x^{\frac{1-n}{n}}

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