与えられた2つの積分問題を解く。 (3) $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$ (4) $\int \cos^4 x \sin x dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの積分問題を解く。

(3) $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$

(4) $\int \cos^4 x \sin x dx$

2. 解き方の手順

(3) $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx$ について:

* 置換積分を用いる。$u = \log x$ と置くと、$du = \frac{1}{x} dx$ となる。

* よって、積分は $\int u^2 du$ となる。

* $\int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C$

* $u$ を $\log x$ に戻すと、$\frac{(\log x)^3}{3} + C$ となる。

(4) $\int \cos^4 x \sin x dx$ について:

* 置換積分を用いる。$u = \cos x$ と置くと、$du = -\sin x dx$ となる。

* よって、積分は $\int u^4 (-du) = -\int u^4 du$ となる。

* $-\int u^4 du = -\frac{u^5}{5} + C$

* $u$ を $\cos x$ に戻すと、$-\frac{\cos^5 x}{5} + C$ となる。

3. 最終的な答え

(3) $\int \frac{(\log x)^2}{x} dx = \frac{(\log x)^3}{3} + C$

(4) $\int \cos^4 x \sin x dx = -\frac{\cos^5 x}{5} + C$