関数 $f(x) = x^5 - 5x^4 + \frac{20}{3}x^3 - 45x$ が与えられている。 (1) 関数 $f(x)$ の極値を求め、そのときの $x$ の値を求めよ。 (2) $g(\theta) = f(2\sin 3\theta)$ とする。関数 $g(\theta)$ （$0 \le \theta \le \pi$）の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^5 - 5x^4 + \frac{20}{3}x^3 - 45x$ が与えられている。

(1) 関数 $f(x)$ の極値を求め、そのときの $x$ の値を求めよ。

(2) $g(\theta) = f(2\sin 3\theta)$ とする。関数 $g(\theta)$ （$0 \le \theta \le \pi$）の最大値と最小値、およびそのときの $\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ の極値を求める。

まず、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 20x^2 - 45$

$f'(x) = 5(x^4 - 4x^3 + 4x^2 - 9)$

$f'(x) = 5(x^2-2x-3)(x^2-2x+3)$

$f'(x) = 5(x-3)(x+1)(x^2-2x+3)$

$f'(x)=0$ となる $x$ の値を求める。$x^2-2x+3 = (x-1)^2 + 2 > 0$ であるため、$x^2-2x+3=0$ は実数解を持たない。

したがって、$f'(x)=0$ の解は $x=3$ と $x=-1$ である。

次に、$f''(x)$ を求め、$x=3$ および $x=-1$ における $f''(x)$ の符号を調べる。

$f''(x) = 20x^3 - 60x^2 + 40x$

$f''(-1) = -20 - 60 - 40 = -120 < 0$

$f''(3) = 20(27) - 60(9) + 40(3) = 540 - 540 + 120 = 120 > 0$

したがって、$x=-1$ で極大値、$x=3$ で極小値をとる。

極大値 $f(-1) = 1 - 5 - \frac{20}{3} + 45 = 41 - \frac{20}{3} = \frac{123-20}{3} = \frac{103}{3}$

極小値 $f(3) = 3^5 - 5(3^4) + \frac{20}{3}(3^3) - 45(3) = 243 - 405 + 180 - 135 = 423 - 540 = -117$

(2) 関数 $g(\theta) = f(2\sin 3\theta)$ の最大値と最小値を求める。

$-1 \le \sin 3\theta \le 1$ より、 $-2 \le 2\sin 3\theta \le 2$ である。

$f'(x) = 5(x-3)(x+1)(x^2-2x+3)$ であるから、$-2 \le x \le 2$ において、$f'(x)=0$ となるのは、$x=-1$ のみである。

$f'(x)$ の符号の変化を考えると、$x=-1$ は極大値である。

$x=-2$ のとき $f'(-2) = 5(-5)(-1)(4+4+3) = 5(5)(11) > 0$

$x=2$ のとき $f'(2) = 5(-1)(3)(4-4+3) = -5(3)(3) < 0$

よって、$f(x)$ は $-2 \le x \le -1$ で増加し、$-1 \le x \le 2$ で減少する。

したがって、$x=2\sin 3\theta$ の範囲における $f(x)$ の最大値は $f(-1) = \frac{103}{3}$ であり、最小値は $f(2)$ または $f(-2)$ のいずれか小さい方である。

$f(2) = 32 - 80 + \frac{20}{3}(8) - 90 = -138 + \frac{160}{3} = \frac{-414+160}{3} = \frac{-254}{3}$

$f(-2) = -32 - 80 + \frac{20}{3}(-8) + 90 = -22 + \frac{-160}{3} = \frac{-66-160}{3} = \frac{-226}{3}$

したがって、最小値は $f(2) = \frac{-254}{3}$ である。

$2\sin 3\theta = -1$ のとき $\sin 3\theta = -\frac{1}{2}$ である。

$0 \le \theta \le \pi$ より、$0 \le 3\theta \le 3\pi$ である。

$3\theta = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}$

$\theta = \frac{7\pi}{18}, \frac{11\pi}{18}, \frac{19\pi}{18}$

$2\sin 3\theta = 2$ のとき $\sin 3\theta = 1$ である。

$3\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) 極大値: $\frac{103}{3}$ ($x=-1$ のとき), 極小値: $-117$ ($x=3$ のとき)

(2) 最大値: $\frac{103}{3}$ ($\theta = \frac{7\pi}{18}, \frac{11\pi}{18}, \frac{19\pi}{18}$ のとき), 最小値: $\frac{-254}{3}$ ($\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ のとき)