次の2つの関数の極値を求める問題です。 (1) $f(x) = x^4 - 6x^2 + 8x - 3$ (2) $g(x) = -x^3 + 2x^2 + x + 3$

1. 問題の内容

次の2つの関数の極値を求める問題です。

(1) $f(x) = x^4 - 6x^2 + 8x - 3$

(2) $g(x) = -x^3 + 2x^2 + x + 3$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^4 - 6x^2 + 8x - 3$ の場合：

まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 4x^3 - 12x + 8$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$4x^3 - 12x + 8 = 0$

$x^3 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)^2(x + 2) = 0$

したがって、$x = 1$ (重解) または $x = -2$

次に、$f''(x)$ を求めます。

$f''(x) = 12x^2 - 12$

$x = 1$ のとき、$f''(1) = 12(1)^2 - 12 = 0$

$x = -2$ のとき、$f''(-2) = 12(-2)^2 - 12 = 12(4) - 12 = 48 - 12 = 36 > 0$

$f''(-2)>0$なので、$x = -2$ で極小値を持ちます。

$f(-2) = (-2)^4 - 6(-2)^2 + 8(-2) - 3 = 16 - 24 - 16 - 3 = -27$

$x = 1$ の前後で$f'(x)$の符号を調べます。$x$が1より少し小さい数、例えば0.9だと、$f'(0.9) = (0.9-1)^2(0.9+2) > 0$. $x$が1より少し大きい数、例えば1.1だと、$f'(1.1) = (1.1-1)^2(1.1+2) > 0$. なので、$x=1$では極値を取りません。

(2) $g(x) = -x^3 + 2x^2 + x + 3$ の場合：

まず、$g(x)$ を微分して、$g'(x)$ を求めます。

$g'(x) = -3x^2 + 4x + 1$

次に、$g'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-3x^2 + 4x + 1 = 0$

$3x^2 - 4x - 1 = 0$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{6} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \frac{2 \pm \sqrt{7}}{3}$

したがって、$x = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ または $x = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$

次に、$g''(x)$ を求めます。

$g''(x) = -6x + 4$

$x = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ のとき、$g''(\frac{2 + \sqrt{7}}{3}) = -6(\frac{2 + \sqrt{7}}{3}) + 4 = -2(2 + \sqrt{7}) + 4 = -4 - 2\sqrt{7} + 4 = -2\sqrt{7} < 0$

$g''(\frac{2 + \sqrt{7}}{3}) < 0$なので、$x = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ で極大値を持ちます。

$g(\frac{2 + \sqrt{7}}{3}) = -(\frac{2 + \sqrt{7}}{3})^3 + 2(\frac{2 + \sqrt{7}}{3})^2 + (\frac{2 + \sqrt{7}}{3}) + 3$

$x = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ のとき、$g''(\frac{2 - \sqrt{7}}{3}) = -6(\frac{2 - \sqrt{7}}{3}) + 4 = -2(2 - \sqrt{7}) + 4 = -4 + 2\sqrt{7} + 4 = 2\sqrt{7} > 0$

$g''(\frac{2 - \sqrt{7}}{3}) > 0$なので、$x = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ で極小値を持ちます。

$g(\frac{2 - \sqrt{7}}{3}) = -(\frac{2 - \sqrt{7}}{3})^3 + 2(\frac{2 - \sqrt{7}}{3})^2 + (\frac{2 - \sqrt{7}}{3}) + 3$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^4 - 6x^2 + 8x - 3$ は、$x = -2$ で極小値 $f(-2) = -27$ をとる。$x=1$では極値を取らない。

(2) $g(x) = -x^3 + 2x^2 + x + 3$ は、$x = \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ で極大値 $g(\frac{2 + \sqrt{7}}{3}) = -(\frac{2 + \sqrt{7}}{3})^3 + 2(\frac{2 + \sqrt{7}}{3})^2 + (\frac{2 + \sqrt{7}}{3}) + 3$ をとり、$x = \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ で極小値 $g(\frac{2 - \sqrt{7}}{3}) = -(\frac{2 - \sqrt{7}}{3})^3 + 2(\frac{2 - \sqrt{7}}{3})^2 + (\frac{2 - \sqrt{7}}{3}) + 3$ をとる。