$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を2つの部分に分けます。

$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{x}{1 + \cos x} dx + \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$

次に、$\int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

$u = 1 + \cos x$ とすると、$du = -\sin x dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C = -\ln|1 + \cos x| + C$

ここで、$1 + \cos x$ は常に非負なので、絶対値記号を省略できます。

$\int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx = -\ln(1 + \cos x) + C$

次に、$\int \frac{x}{1 + \cos x} dx$ を計算します。

$1 + \cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2})$ を用いると、

$\int \frac{x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{x}{2\cos^2(\frac{x}{2})} dx = \frac{1}{2}\int x \sec^2(\frac{x}{2}) dx$

部分積分を用います。$u = x$, $dv = \sec^2(\frac{x}{2}) dx$ とすると、$du = dx$, $v = 2\tan(\frac{x}{2})$ となります。

$\frac{1}{2}\int x \sec^2(\frac{x}{2}) dx = \frac{1}{2} \left[ x \cdot 2\tan(\frac{x}{2}) - \int 2\tan(\frac{x}{2}) dx \right]$

$= x\tan(\frac{x}{2}) - \int \tan(\frac{x}{2}) dx$

$\int \tan(\frac{x}{2}) dx = \int \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})} dx$

$w = \cos(\frac{x}{2})$ とすると、$dw = -\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2}) dx$

$\int \frac{\sin(\frac{x}{2})}{\cos(\frac{x}{2})} dx = \int \frac{-2dw}{w} = -2\ln|w| + C = -2\ln|\cos(\frac{x}{2})| + C = -2\ln(\cos(\frac{x}{2})) + C$

したがって、$\int \frac{x}{1 + \cos x} dx = x\tan(\frac{x}{2}) + 2\ln(\cos(\frac{x}{2})) + C$

したがって、

$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx = x\tan(\frac{x}{2}) + 2\ln(\cos(\frac{x}{2})) - \ln(1 + \cos x) + C$

ここで、$1 + \cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2})$ なので、$\ln(1 + \cos x) = \ln(2\cos^2(\frac{x}{2})) = \ln 2 + 2\ln(\cos(\frac{x}{2}))$

$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx = x\tan(\frac{x}{2}) + 2\ln(\cos(\frac{x}{2})) - \ln 2 - 2\ln(\cos(\frac{x}{2})) + C = x\tan(\frac{x}{2}) - \ln 2 + C$

定数項はまとめて、$C'$ とすることができます。

$\int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx = x\tan(\frac{x}{2}) + C'$

3. 最終的な答え

$x\tan(\frac{x}{2}) + C$