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関数 $f(x) = x^3 \log x$ の $n$ 次導関数 ($n \geq 4$) を求めよ。

解析学微分導関数対数関数
2025/6/4

1. 問題の内容

関数 f(x)=x3log⁡xf(x) = x^3 \log x の nn 次導関数 (n≥4n \geq 4) を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、f(x)=x3log⁡xf(x) = x^3 \log x の導関数をいくつか計算して、規則性を見つけることを試みます。
f′(x)=3x2log⁡x+x3⋅1x=3x2log⁡x+x2f'(x) = 3x^2 \log x + x^3 \cdot \frac{1}{x} = 3x^2 \log x + x^2
f′′(x)=6xlog⁡x+3x2⋅1x+2x=6xlog⁡x+3x+2x=6xlog⁡x+5xf''(x) = 6x \log x + 3x^2 \cdot \frac{1}{x} + 2x = 6x \log x + 3x + 2x = 6x \log x + 5x
f′′′(x)=6log⁡x+6x⋅1x+5=6log⁡x+6+5=6log⁡x+11f'''(x) = 6 \log x + 6x \cdot \frac{1}{x} + 5 = 6 \log x + 6 + 5 = 6 \log x + 11
f(4)(x)=6xf^{(4)}(x) = \frac{6}{x}
f(5)(x)=−6x2f^{(5)}(x) = -\frac{6}{x^2}
f(6)(x)=6⋅2x3f^{(6)}(x) = \frac{6 \cdot 2}{x^3}
f(7)(x)=−6⋅2⋅3x4f^{(7)}(x) = -\frac{6 \cdot 2 \cdot 3}{x^4}
一般に、n≥4n \geq 4 のとき、
f(n)(x)=(−1)n−46⋅(n−4)!xn−3=(−1)n−46(n−4)!xn−3f^{(n)}(x) = (-1)^{n-4} \frac{6 \cdot (n-4)!}{x^{n-3}} = (-1)^{n-4} \frac{6(n-4)!}{x^{n-3}}

3. 最終的な答え

f(n)(x)=(−1)n−46(n−4)!xn−3f^{(n)}(x) = (-1)^{n-4} \frac{6(n-4)!}{x^{n-3}}

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