与えられた極限を計算します。 $$\lim_{x \to \infty} x \left( \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \right)$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to \infty} x \left( \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \right)$$

2. 解き方の手順

まず、$y = \arctan(x)$ と置くと、$x = \tan(y)$ となります。$x \to \infty$ のとき、$y \to \frac{\pi}{2}$ となるので、与えられた極限は以下のように書き換えられます。

$$\lim_{y \to \frac{\pi}{2}} \tan(y) \left( \frac{\pi}{2} - y \right)$$

$z = \frac{\pi}{2} - y$ と置くと、$y = \frac{\pi}{2} - z$ となり、$y \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$z \to 0$ となります。したがって、与えられた極限は以下のように書き換えられます。

$$\lim_{z \to 0} \tan \left( \frac{\pi}{2} - z \right) z$$

$\tan(\frac{\pi}{2} - z) = \cot(z)$ であるから、

$$\lim_{z \to 0} \cot(z) z = \lim_{z \to 0} \frac{\cos(z)}{\sin(z)} z = \lim_{z \to 0} \cos(z) \cdot \frac{z}{\sin(z)}$$

ここで、$\lim_{z \to 0} \cos(z) = 1$ であり、$\lim_{z \to 0} \frac{z}{\sin(z)} = 1$ であるから、

$$\lim_{z \to 0} \cos(z) \cdot \frac{z}{\sin(z)} = 1 \cdot 1 = 1$$

したがって、与えられた極限は1となります。

3. 最終的な答え

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