画像に書かれている3つの積分問題を解きます。 (6) $\int \frac{5}{3x+1} dx$ (7) $\int \sin(4x-3) dx$ (8) $\int \frac{1}{\cos^2(3x)} dx$

1. 問題の内容

画像に書かれている3つの積分問題を解きます。

(6) $\int \frac{5}{3x+1} dx$

(7) $\int \sin(4x-3) dx$

(8) $\int \frac{1}{\cos^2(3x)} dx$

2. 解き方の手順

(6) $\int \frac{5}{3x+1} dx$

定数5を積分の外に出します。

$\int \frac{1}{3x+1} dx$ を計算するために、置換 $u = 3x + 1$ を使用します。すると、$du = 3dx$ となり、$dx = \frac{1}{3}du$ となります。

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \ln|u| + C = \frac{1}{3} \ln|3x+1| + C$

これに定数5を掛けて、$5 \cdot \frac{1}{3} \ln|3x+1| + C = \frac{5}{3} \ln|3x+1| + C$

(7) $\int \sin(4x-3) dx$

置換 $u = 4x - 3$ を使用します。すると、$du = 4dx$ となり、$dx = \frac{1}{4} du$ となります。

$\int \sin(u) \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int \sin(u) du = \frac{1}{4} (-\cos(u)) + C = -\frac{1}{4} \cos(4x-3) + C$

(8) $\int \frac{1}{\cos^2(3x)} dx$

$\frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x)$ なので、$\int \sec^2(3x) dx$ を計算します。

置換 $u = 3x$ を使用します。すると、$du = 3dx$ となり、$dx = \frac{1}{3} du$ となります。

$\int \sec^2(u) \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \sec^2(u) du = \frac{1}{3} \tan(u) + C = \frac{1}{3} \tan(3x) + C$

3. 最終的な答え

(6) $\frac{5}{3} \ln|3x+1| + C$

(7) $-\frac{1}{4} \cos(4x-3) + C$

(8) $\frac{1}{3} \tan(3x) + C$