画像には、以下の3つの積分問題が示されています。 (1) $\int (2x-1)^3 dx$ (2) $\int (\frac{1}{5}x + 2)^6 dx$ (3) $\int (1-6x)^8 dx$

はい、承知いたしました。画像に示された積分問題を解きます。

1. 問題の内容

画像には、以下の3つの積分問題が示されています。

(1) $\int (2x-1)^3 dx$

(2) $\int (\frac{1}{5}x + 2)^6 dx$

(3) $\int (1-6x)^8 dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (2x-1)^3 dx$

$u = 2x - 1$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$ となります。

したがって、

$\int (2x-1)^3 dx = \int u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} u^4 + C = \frac{1}{8} (2x-1)^4 + C$

(2) $\int (\frac{1}{5}x + 2)^6 dx$

$u = \frac{1}{5}x + 2$ と置換すると、$du = \frac{1}{5}dx$ より $dx = 5du$ となります。

したがって、

$\int (\frac{1}{5}x + 2)^6 dx = \int u^6 \cdot 5 du = 5 \int u^6 du = 5 \cdot \frac{1}{7} u^7 + C = \frac{5}{7} (\frac{1}{5}x + 2)^7 + C$

(3) $\int (1-6x)^8 dx$

$u = 1-6x$ と置換すると、$du = -6dx$ より $dx = -\frac{1}{6}du$ となります。

したがって、

$\int (1-6x)^8 dx = \int u^8 \cdot (-\frac{1}{6}) du = -\frac{1}{6} \int u^8 du = -\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{9} u^9 + C = -\frac{1}{54} (1-6x)^9 + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int (2x-1)^3 dx = \frac{1}{8}(2x-1)^4 + C$

(2) $\int (\frac{1}{5}x + 2)^6 dx = \frac{5}{7}(\frac{1}{5}x + 2)^7 + C$

(3) $\int (1-6x)^8 dx = -\frac{1}{54}(1-6x)^9 + C$