$xy$平面において、曲線$C$が$y = |x^2 + 2x - 3|$で与えられています。点$A(-3, 0)$を通る傾き$m$の直線$l$が、$A$以外の相異なる2点で$C$と交わるとき、以下の問いに答えます。 (1) $m$の値の範囲を求めます。 (2) $C$と$l$により囲まれる図形の面積を$S$とするとき、$S$を$m$の式で表します。 (3) (1)の範囲のもとで、$S$が最小となるときの$m$の値を求めます。

1. 問題の内容

$xy$平面において、曲線$C$が$y = |x^2 + 2x - 3|$で与えられています。点$A(-3, 0)$を通る傾き$m$の直線$l$が、$A$以外の相異なる2点で$C$と交わるとき、以下の問いに答えます。

(1) $m$の値の範囲を求めます。

(2) $C$と$l$により囲まれる図形の面積を$S$とするとき、$S$を$m$の式で表します。

(3) (1)の範囲のもとで、$S$が最小となるときの$m$の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = |x^2 + 2x - 3|$を考えます。

$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$なので、$x \le -3$または$x \ge 1$のとき、$y = x^2 + 2x - 3$であり、$-3 < x < 1$のとき、$y = -x^2 - 2x + 3$です。

点$A(-3, 0)$を通る傾き$m$の直線$l$の方程式は、$y = m(x+3)$です。

$C$と$l$の交点の$x$座標を求めるため、$y$を消去して得られる$x$の式を考えます。

$x > -3$の場合を考えます。

場合1：$1 \le x$のとき、$x^2 + 2x - 3 = m(x+3)$

$x^2 + 2x - 3 - m(x+3) = 0$

$x^2 + (2-m)x - 3 - 3m = 0$

$x = -3$が解なので、残りの解を$x_1$とすると、$x_1 \ge 1$を満たします。

解と係数の関係から、$-3 + x_1 = m-2$なので、$x_1 = m+1$。

$m+1 \ge 1$より、$m \ge 0$。

また、$(-3)x_1 = -3-3m$なので、$x_1 = 1+m$。

$x_1 = m+1$は条件を満たします。

場合2：$-3 < x < 1$のとき、$-x^2 - 2x + 3 = m(x+3)$

$x^2 + (m+2)x + 3m - 3 = 0$

$x = -3$が解なので、残りの解を$x_2$とすると、$-3 < x_2 < 1$を満たします。

解と係数の関係から、$-3+x_2 = -(m+2)$なので、$x_2 = 1-m$。

$-3 < 1-m < 1$より、$0 < m < 4$。

$(-3)x_2 = 3m - 3$なので、$x_2 = 1-m$。

$A$以外の相異なる2点で$C$と交わるので、場合1と場合2が同時に起こり、$0 < m$かつ$0 < m < 4$を満たす必要があります。また、場合1の解は1より大きく、場合2の解は1より小さい必要があります。

よって、$0 < m < 4$です。

(2)

$S = \int_{-3}^{1-m} \{m(x+3) - (-x^2-2x+3)\} dx + \int_{1+m}^{1} \{m(x+3) - (x^2+2x-3)\} dx$

$S = \int_{-3}^{1-m} (x^2+(m+2)x+(3m-3)) dx + \int_{1}^{1+m} (-x^2+(m-2)x+(3+3m)) dx$

$S = \frac{(4-m)^3}{6}+\frac{(m-0)^3}{6} = \frac{1}{6}\{(4-m)^3 - m^3\}$

$S = \frac{1}{6}(64 - 48m + 12m^2 - m^3 + m^3) = \frac{1}{6}(-48m + 12m^2 + 64) = 2m^2-8m+\frac{32}{3}$

(3)

$S = 2m^2 - 8m + \frac{32}{3} = 2(m^2 - 4m) + \frac{32}{3} = 2((m-2)^2 - 4) + \frac{32}{3} = 2(m-2)^2 - 8 + \frac{32}{3} = 2(m-2)^2 + \frac{8}{3}$

$S$が最小となるのは、$m = 2$のときです。

$0 < m < 4$を満たすので、$m = 2$は条件を満たします。

3. 最終的な答え

(1) $0 < m < 4$

(2) $S = 2m^2-8m+\frac{32}{3}$

(3) $m = 2$