与えられた6つの関数をそれぞれ微分する。 (1) $cos(4x)$ (2) $x \sin x$ (3) $\sin x \cos x$ (4) $\cos(\sin(x))$ (5) $\frac{1}{\sin x}$ (6) $\frac{1}{\tan x}$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する。

(1) $cos(4x)$

(2) $x \sin x$

(3) $\sin x \cos x$

(4) $\cos(\sin(x))$

(5) $\frac{1}{\sin x}$

(6) $\frac{1}{\tan x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \cos(4x)$

合成関数の微分を行う。$u = 4x$ とすると、$y = \cos u$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = (-\sin u) \cdot 4 = -4 \sin(4x)$

(2) $y = x \sin x$

積の微分公式を使う。$(uv)' = u'v + uv'$

$\frac{dy}{dx} = (x)' \sin x + x (\sin x)' = 1 \cdot \sin x + x \cos x = \sin x + x \cos x$

(3) $y = \sin x \cos x$

積の微分公式を使う。

$\frac{dy}{dx} = (\sin x)' \cos x + \sin x (\cos x)' = \cos x \cos x + \sin x (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$

または、$y = \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$ と変形してから微分することも可能。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (\sin(2x))' = \frac{1}{2} \cos(2x) \cdot 2 = \cos(2x)$

(4) $y = \cos(\sin(x))$

合成関数の微分を行う。$u = \sin x$ とすると、$y = \cos u$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = (-\sin u) \cdot \cos x = -\sin(\sin x) \cos x$

(5) $y = \frac{1}{\sin x} = (\sin x)^{-1}$

合成関数の微分を使う。

$\frac{dy}{dx} = -1 (\sin x)^{-2} \cdot \cos x = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} = - \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\sin x} = - \cot x \csc x$

ここで $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ (コセカント) 、$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ (コタンジェント)である。

(6) $y = \frac{1}{\tan x} = \cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$

商の微分公式 $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$を使う。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(\cos x)' \sin x - \cos x (\sin x)'}{\sin^2 x} = \frac{-\sin x \sin x - \cos x \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = \frac{-1}{\sin^2 x} = - \csc^2 x$

あるいは、$\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}$ を直接微分する。$\cot x$の微分は$-\csc^2 x$として覚えておくと良い。

3. 最終的な答え

(1) $-4 \sin(4x)$

(2) $\sin x + x \cos x$

(3) $\cos(2x)$

(4) $-\sin(\sin x) \cos x$

(5) $-\frac{\cos x}{\sin^2 x} = - \cot x \csc x$

(6) $-\frac{1}{\sin^2 x} = - \csc^2 x$