次の関数を微分せよ。 (1) $y = \tan^{-1}\frac{x-1}{x+1}$ (2) $y = \sin^{-1}(e^{-x^2})$ (3) $y = \tan^{-1}(e^x + e^{-x})$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = \tan^{-1}\frac{x-1}{x+1}$

(2) $y = \sin^{-1}(e^{-x^2})$

(3) $y = \tan^{-1}(e^x + e^{-x})$

2. 解き方の手順

(1) $y = \tan^{-1}\frac{x-1}{x+1}$ の微分

$\tan^{-1}u$ の微分は $\frac{1}{1+u^2} \frac{du}{dx}$ である。

$u = \frac{x-1}{x+1}$ とおくと、

$\frac{du}{dx} = \frac{(x+1) - (x-1)}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(\frac{x-1}{x+1})^2} \cdot \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{1}{\frac{(x+1)^2 + (x-1)^2}{(x+1)^2}} \cdot \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2}{(x+1)^2+(x-1)^2} \cdot \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{2}{x^2+2x+1+x^2-2x+1} = \frac{2}{2x^2+2} = \frac{1}{x^2+1}$

あるいは、$x = \tan \theta$ とおくと、

$\frac{x-1}{x+1} = \frac{\tan\theta-1}{\tan\theta+1} = \frac{\tan\theta-\tan(\frac{\pi}{4})}{1+\tan\theta\tan(\frac{\pi}{4})} = \tan(\theta-\frac{\pi}{4})$

よって、$\tan^{-1}\frac{x-1}{x+1} = \theta - \frac{\pi}{4} = \tan^{-1}x - \frac{\pi}{4}$

$\frac{d}{dx}(\tan^{-1}\frac{x-1}{x+1}) = \frac{d}{dx}(\tan^{-1}x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{1+x^2}$

(2) $y = \sin^{-1}(e^{-x^2})$ の微分

$\sin^{-1}u$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{du}{dx}$ である。

$u = e^{-x^2}$ とおくと、$\frac{du}{dx} = e^{-x^2}(-2x) = -2xe^{-x^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(e^{-x^2})^2}} \cdot (-2xe^{-x^2}) = \frac{-2xe^{-x^2}}{\sqrt{1-e^{-2x^2}}}$

(3) $y = \tan^{-1}(e^x + e^{-x})$ の微分

$\tan^{-1}u$ の微分は $\frac{1}{1+u^2} \frac{du}{dx}$ である。

$u = e^x+e^{-x}$ とおくと、 $\frac{du}{dx} = e^x - e^{-x}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(e^x+e^{-x})^2} \cdot (e^x-e^{-x}) = \frac{e^x-e^{-x}}{1+(e^{2x}+2+e^{-2x})} = \frac{e^x-e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{x^2+1}$

(2) $\frac{-2xe^{-x^2}}{\sqrt{1-e^{-2x^2}}}$

(3) $\frac{e^x-e^{-x}}{e^{2x}+e^{-2x}+3}$