以下の3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{\sin 2x}$ (2) $\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x}$ (3) $\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin^{-1} x}$

1. 問題の内容

以下の3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{\sin 2x}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x}$

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin^{-1} x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{\sin 2x}$ を求める。

$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ を用いて、

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{\sin 2x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{2\sin x \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{1}{2\cos x}$

$x\to 0$ のとき $\cos x \to 1$ なので、

$\lim_{x\to 0} \frac{1}{2\cos x} = \frac{1}{2}$

(2) $\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x}$ を求める。

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos x}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であり、$x\to 0$ のとき $\cos x \to 1$ なので、

$\lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \cdot 1 = 1$

(3) $\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin^{-1} x}$ を求める。

$y = \sin^{-1} x$ とおくと、$x = \sin y$ であり、$x\to 0$ のとき $y\to 0$ となる。したがって、

$\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin^{-1} x} = \lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y}$

$\lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$ なので、

$\lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin^{-1} x} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $1$

(3) $1$