次の関数を微分せよ。 (1) $y = \tan^{-1}\frac{x-1}{x+1}$ (2) $y = \sin^{-1}(e^{-x^2})$ (3) $y = \tan^{-1}(e^x + e^{-x})$

1. 問題の内容

次の関数を微分せよ。

(1) $y = \tan^{-1}\frac{x-1}{x+1}$

(2) $y = \sin^{-1}(e^{-x^2})$

(3) $y = \tan^{-1}(e^x + e^{-x})$

2. 解き方の手順

(1) $y = \tan^{-1}\frac{x-1}{x+1}$ を微分する。

$\tan^{-1}u$ の微分は $\frac{du}{dx} \cdot \frac{1}{1+u^2}$ なので、まず $u = \frac{x-1}{x+1}$ とおく。

$\frac{du}{dx} = \frac{(x+1)(1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$

$\frac{1}{1+u^2} = \frac{1}{1+(\frac{x-1}{x+1})^2} = \frac{1}{1+\frac{(x-1)^2}{(x+1)^2}} = \frac{(x+1)^2}{(x+1)^2 + (x-1)^2} = \frac{(x+1)^2}{x^2+2x+1+x^2-2x+1} = \frac{(x+1)^2}{2x^2+2} = \frac{(x+1)^2}{2(x^2+1)}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{(x+1)^2} \cdot \frac{(x+1)^2}{2(x^2+1)} = \frac{1}{x^2+1}$

(2) $y = \sin^{-1}(e^{-x^2})$ を微分する。

$\sin^{-1}u$ の微分は $\frac{du}{dx} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ なので、まず $u = e^{-x^2}$ とおく。

$\frac{du}{dx} = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$

$\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-(e^{-x^2})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-e^{-2x^2}}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -2xe^{-x^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-e^{-2x^2}}} = \frac{-2xe^{-x^2}}{\sqrt{1-e^{-2x^2}}}$

(3) $y = \tan^{-1}(e^x + e^{-x})$ を微分する。

$\tan^{-1}u$ の微分は $\frac{du}{dx} \cdot \frac{1}{1+u^2}$ なので、まず $u = e^x + e^{-x}$ とおく。

$\frac{du}{dx} = e^x - e^{-x}$

$\frac{1}{1+u^2} = \frac{1}{1+(e^x+e^{-x})^2} = \frac{1}{1+e^{2x} + 2 + e^{-2x}} = \frac{1}{3+e^{2x}+e^{-2x}}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = (e^x - e^{-x}) \cdot \frac{1}{3+e^{2x}+e^{-2x}} = \frac{e^x-e^{-x}}{3+e^{2x}+e^{-2x}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2+1}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{-2xe^{-x^2}}{\sqrt{1-e^{-2x^2}}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x-e^{-x}}{3+e^{2x}+e^{-2x}}$