与えられた8つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int \sqrt{2-x^2} \, dx$ (2) $\int \sqrt{x^2-5} \, dx$ (3) $\int \frac{1}{\sqrt{3-2x-x^2}} \, dx$ (4) $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-4x+2}} \, dx$ (5) $\int xa^x \, dx$ (6) $\int \log_a x \, dx$ (7) $\int x^2 e^x \, dx$ (8) $\int (\log x)^2 \, dx$

## 不定積分の問題

1. 問題の内容

与えられた8つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int \sqrt{2-x^2} \, dx$

(2) $\int \sqrt{x^2-5} \, dx$

(3) $\int \frac{1}{\sqrt{3-2x-x^2}} \, dx$

(4) $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-4x+2}} \, dx$

(5) $\int xa^x \, dx$

(6) $\int \log_a x \, dx$

(7) $\int x^2 e^x \, dx$

(8) $\int (\log x)^2 \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \sqrt{2-x^2} \, dx$

$x = \sqrt{2} \sin \theta$ と置換します。すると、$dx = \sqrt{2} \cos \theta \, d\theta$ となり、

$\sqrt{2-x^2} = \sqrt{2 - 2\sin^2 \theta} = \sqrt{2} \cos \theta$ となります。

$\int \sqrt{2-x^2} \, dx = \int \sqrt{2} \cos \theta \cdot \sqrt{2} \cos \theta \, d\theta = 2 \int \cos^2 \theta \, d\theta$

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ より、

$2 \int \cos^2 \theta \, d\theta = 2 \int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \int (1 + \cos 2\theta) \, d\theta = \theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta + C$

$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ なので、

$\theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta + C = \theta + \sin \theta \cos \theta + C$

$\sin \theta = \frac{x}{\sqrt{2}}$ より、$\theta = \arcsin \frac{x}{\sqrt{2}}$ であり、

$\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{x^2}{2}} = \frac{\sqrt{2-x^2}}{\sqrt{2}}$ です。

よって、$\int \sqrt{2-x^2} \, dx = \arcsin \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2-x^2}}{\sqrt{2}} + C = \arcsin \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{x\sqrt{2-x^2}}{2} + C$

(2) $\int \sqrt{x^2-5} \, dx$

$x = \sqrt{5} \cosh u$ と置換します。$dx = \sqrt{5} \sinh u \, du$ であり、

$\sqrt{x^2-5} = \sqrt{5 \cosh^2 u - 5} = \sqrt{5} \sinh u$ です。

$\int \sqrt{x^2-5} \, dx = \int \sqrt{5} \sinh u \cdot \sqrt{5} \sinh u \, du = 5 \int \sinh^2 u \, du$

$\sinh^2 u = \frac{\cosh 2u - 1}{2}$ なので、

$5 \int \sinh^2 u \, du = 5 \int \frac{\cosh 2u - 1}{2} \, du = \frac{5}{2} \int (\cosh 2u - 1) \, du = \frac{5}{2} (\frac{1}{2} \sinh 2u - u) + C$

$\sinh 2u = 2 \sinh u \cosh u$ なので、

$\frac{5}{2} (\frac{1}{2} \sinh 2u - u) + C = \frac{5}{2} (\sinh u \cosh u - u) + C$

$\cosh u = \frac{x}{\sqrt{5}}$ より、$u = \operatorname{arcosh} \frac{x}{\sqrt{5}}$ であり、$\sinh u = \sqrt{\cosh^2 u - 1} = \sqrt{\frac{x^2}{5} - 1} = \frac{\sqrt{x^2-5}}{\sqrt{5}}$ です。

よって、$\int \sqrt{x^2-5} \, dx = \frac{5}{2} (\frac{\sqrt{x^2-5}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{x}{\sqrt{5}} - \operatorname{arcosh} \frac{x}{\sqrt{5}}) + C = \frac{x\sqrt{x^2-5}}{2} - \frac{5}{2} \operatorname{arcosh} \frac{x}{\sqrt{5}} + C$

(3) $\int \frac{1}{\sqrt{3-2x-x^2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{4 - (x+1)^2}} \, dx$

$x+1 = 2\sin \theta$ と置換します。$dx = 2\cos \theta \, d\theta$ であり、

$\sqrt{4 - (x+1)^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2 \theta} = 2\cos \theta$ です。

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - (x+1)^2}} \, dx = \int \frac{1}{2\cos \theta} \cdot 2\cos \theta \, d\theta = \int 1 \, d\theta = \theta + C$

$\sin \theta = \frac{x+1}{2}$ より、$\theta = \arcsin \frac{x+1}{2}$ です。

よって、$\int \frac{1}{\sqrt{3-2x-x^2}} \, dx = \arcsin \frac{x+1}{2} + C$

(4) $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-4x+2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{(x-2)^2-2}} \, dx$

$x-2 = \sqrt{2} \cosh u$ と置換します。$dx = \sqrt{2} \sinh u \, du$ であり、

$\sqrt{(x-2)^2 - 2} = \sqrt{2 \cosh^2 u - 2} = \sqrt{2} \sinh u$ です。

$\int \frac{1}{\sqrt{(x-2)^2-2}} \, dx = \int \frac{1}{\sqrt{2} \sinh u} \cdot \sqrt{2} \sinh u \, du = \int 1 \, du = u + C$

$\cosh u = \frac{x-2}{\sqrt{2}}$ より、$u = \operatorname{arcosh} \frac{x-2}{\sqrt{2}}$ です。

よって、$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-4x+2}} \, dx = \operatorname{arcosh} \frac{x-2}{\sqrt{2}} + C$

(5) $\int xa^x \, dx$

部分積分法を用います。$u=x, dv=a^x dx$ とすると、$du = dx, v = \frac{a^x}{\ln a}$ です。

$\int xa^x \, dx = x \cdot \frac{a^x}{\ln a} - \int \frac{a^x}{\ln a} \, dx = \frac{xa^x}{\ln a} - \frac{1}{\ln a} \int a^x \, dx = \frac{xa^x}{\ln a} - \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{a^x}{\ln a} + C = \frac{xa^x}{\ln a} - \frac{a^x}{(\ln a)^2} + C$

(6) $\int \log_a x \, dx$

$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ より、$\int \log_a x \, dx = \int \frac{\ln x}{\ln a} \, dx = \frac{1}{\ln a} \int \ln x \, dx$

部分積分法を用います。$u = \ln x, dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx, v = x$ です。

$\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + C$

よって、$\int \log_a x \, dx = \frac{1}{\ln a} (x \ln x - x) + C = \frac{x \ln x - x}{\ln a} + C = x \log_a x - \frac{x}{\ln a} + C$

(7) $\int x^2 e^x \, dx$

部分積分法を2回用います。$u=x^2, dv=e^x dx$ とすると、$du = 2x \, dx, v = e^x$ です。

$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x \, dx$

$\int x e^x \, dx$ を計算します。$u=x, dv=e^x dx$ とすると、$du = dx, v = e^x$ です。

$\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C$

よって、$\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$

(8) $\int (\log x)^2 \, dx$

部分積分法を用います。$u=(\log x)^2, dv=dx$ とすると、$du = 2 \log x \cdot \frac{1}{x} \, dx, v = x$ です。

$\int (\log x)^2 \, dx = x(\log x)^2 - \int x \cdot 2 \log x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x(\log x)^2 - 2 \int \log x \, dx$

$\int \log x \, dx$ は(6)で計算しました: $x \ln x - x + C$

よって、$\int (\log x)^2 \, dx = x(\log x)^2 - 2(x \log x - x) + C = x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \sqrt{2-x^2} \, dx = \arcsin \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{x\sqrt{2-x^2}}{2} + C$

(2) $\int \sqrt{x^2-5} \, dx = \frac{x\sqrt{x^2-5}}{2} - \frac{5}{2} \operatorname{arcosh} \frac{x}{\sqrt{5}} + C$

(3) $\int \frac{1}{\sqrt{3-2x-x^2}} \, dx = \arcsin \frac{x+1}{2} + C$

(4) $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-4x+2}} \, dx = \operatorname{arcosh} \frac{x-2}{\sqrt{2}} + C$

(5) $\int xa^x \, dx = \frac{xa^x}{\ln a} - \frac{a^x}{(\ln a)^2} + C$

(6) $\int \log_a x \, dx = x \log_a x - \frac{x}{\ln a} + C$

(7) $\int x^2 e^x \, dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$

(8) $\int (\log x)^2 \, dx = x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$