与えられた積分問題を解きます。具体的には、以下の5つの積分を計算します。 (4) $\int \frac{dx}{(x+1)^3}$ (5) $\int \sqrt[3]{4x+5} \, dx$ (9) $\int e^{3x-1} \, dx$ (10) $\int 3^{2x+1} \, dx$

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた積分問題を解きます。具体的には、以下の5つの積分を計算します。

(4) $\int \frac{dx}{(x+1)^3}$

(5) $\int \sqrt[3]{4x+5} \, dx$

(9) $\int e^{3x-1} \, dx$

(10) $\int 3^{2x+1} \, dx$

2. 解き方の手順

**(4) $\int \frac{dx}{(x+1)^3}$ の解き方:**

* $\frac{1}{(x+1)^3} = (x+1)^{-3}$ と書き換えます。

* $\int (x+1)^{-3} dx$ を計算します。

* $u = x+1$ と置換すると、$du = dx$ となります。

* $\int u^{-3} du = \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2u^2} + C$ となります。

* $u$ を $x+1$ に戻すと、$-\frac{1}{2(x+1)^2} + C$ となります。

**(5) $\int \sqrt[3]{4x+5} \, dx$ の解き方:**

* $\sqrt[3]{4x+5} = (4x+5)^{\frac{1}{3}}$ と書き換えます。

* $\int (4x+5)^{\frac{1}{3}} dx$ を計算します。

* $u = 4x+5$ と置換すると、$du = 4dx$ となり、$dx = \frac{1}{4}du$ となります。

* $\int u^{\frac{1}{3}} \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{3}} du = \frac{1}{4} \frac{u^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{16} u^{\frac{4}{3}} + C$ となります。

* $u$ を $4x+5$ に戻すと、$\frac{3}{16}(4x+5)^{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{16} (4x+5) \sqrt[3]{4x+5} + C$ となります。

**(9) $\int e^{3x-1} \, dx$ の解き方:**

* $u = 3x-1$ と置換すると、$du = 3dx$ となり、$dx = \frac{1}{3}du$ となります。

* $\int e^u \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int e^u du = \frac{1}{3} e^u + C$ となります。

* $u$ を $3x-1$ に戻すと、$\frac{1}{3} e^{3x-1} + C$ となります。

**(10) $\int 3^{2x+1} \, dx$ の解き方:**

* $u = 2x+1$ と置換すると、$du = 2dx$ となり、$dx = \frac{1}{2}du$ となります。

* $\int 3^u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int 3^u du = \frac{1}{2} \frac{3^u}{\ln 3} + C$ となります。ここで、$\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ を利用しました。

* $u$ を $2x+1$ に戻すと、$\frac{1}{2} \frac{3^{2x+1}}{\ln 3} + C = \frac{3^{2x+1}}{2 \ln 3} + C$ となります。

3. 最終的な答え

**(4)** $\int \frac{dx}{(x+1)^3} = -\frac{1}{2(x+1)^2} + C$

**(5)** $\int \sqrt[3]{4x+5} \, dx = \frac{3}{16} (4x+5) \sqrt[3]{4x+5} + C$

**(9)** $\int e^{3x-1} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x-1} + C$

**(10)** $\int 3^{2x+1} \, dx = \frac{3^{2x+1}}{2 \ln 3} + C$