与えられた5つの不定積分を計算する問題です。 (1) $\int \frac{2x}{x^2-1} dx$ (2) $\int \frac{x^2+2x}{x^3+3x^2+4} dx$ (3) $\int \frac{1}{\cos^2 x \tan x} dx$ (4) $\int \frac{\sin x}{1+\cos x} dx$ (5) $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$

1. 問題の内容

与えられた5つの不定積分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{2x}{x^2-1} dx$

(2) $\int \frac{x^2+2x}{x^3+3x^2+4} dx$

(3) $\int \frac{1}{\cos^2 x \tan x} dx$

(4) $\int \frac{\sin x}{1+\cos x} dx$

(5) $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{2x}{x^2-1} dx$

$u = x^2 - 1$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。

よって、

$\int \frac{2x}{x^2-1} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln|x^2-1| + C$

(2) $\int \frac{x^2+2x}{x^3+3x^2+4} dx$

$u = x^3 + 3x^2 + 4$ と置換すると、$du = (3x^2 + 6x) dx = 3(x^2 + 2x) dx$ となります。

よって、

$\int \frac{x^2+2x}{x^3+3x^2+4} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{3} \ln|u| + C = \frac{1}{3} \ln|x^3+3x^2+4| + C$

(3) $\int \frac{1}{\cos^2 x \tan x} dx$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、

$\int \frac{1}{\cos^2 x \tan x} dx = \int \frac{1}{\cos^2 x \frac{\sin x}{\cos x}} dx = \int \frac{1}{\cos x \sin x} dx = \int \frac{\cos x}{\cos^2 x \sin x} dx$

$\int \frac{1}{\cos x \sin x} dx = \int \frac{1}{\sin x \cos x}dx = \int \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\sin x \cos x}dx=\int \frac{\cos x}{\sin x}dx+\int \frac{\sin x}{\cos x}dx=\ln|\sin x| - \ln|\cos x|+C = \ln|\tan x|+C$

別解として、

$\int \frac{1}{\cos x \sin x} dx = \int \frac{1}{\frac{1}{2} \sin 2x} dx = 2 \int \csc 2x dx = 2 \cdot (-\frac{1}{2} \ln|\csc 2x + \cot 2x|) + C = -\ln|\csc 2x + \cot 2x| + C$

さらに別解として、

$\int \frac{1}{\cos^2 x \tan x} dx = \int \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{\cos x \sin x}dx = \int \frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos x \sin x}dx = \int\frac{\cos x}{\sin x}dx + \int \frac{\sin x}{\cos x}dx = \ln|\sin x| - \ln|\cos x|+C = \ln|\frac{\sin x}{\cos x}|+C = \ln|\tan x|+C$

(4) $\int \frac{\sin x}{1+\cos x} dx$

$u = 1 + \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ となります。

よって、

$\int \frac{\sin x}{1+\cos x} dx = - \int \frac{1}{u} du = - \ln|u| + C = - \ln|1+\cos x| + C$

(5) $\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$

$u = e^x + e^{-x}$ と置換すると、$du = (e^x - e^{-x}) dx$ となります。

よって、

$\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx = \int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C = \ln|e^x + e^{-x}| + C$

$e^x + e^{-x} > 0$ より、$\ln(e^x + e^{-x}) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\ln|x^2-1| + C$

(2) $\frac{1}{3} \ln|x^3+3x^2+4| + C$

(3) $\ln|\tan x| + C$

(4) $- \ln|1+\cos x| + C$

(5) $\ln(e^x + e^{-x}) + C$