$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = 4\sin\theta - \cos2\theta + 3$ の最大値、最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、関数 $y = 4\sin\theta - \cos2\theta + 3$ の最大値、最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ を用いて表す。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ であるから、

$y = 4\sin\theta - (1 - 2\sin^2 \theta) + 3$

$y = 4\sin\theta - 1 + 2\sin^2 \theta + 3$

$y = 2\sin^2 \theta + 4\sin\theta + 2$

ここで、$t = \sin \theta$ とおくと、$-1 \le t \le 1$ である。

$y = 2t^2 + 4t + 2$

$y = 2(t^2 + 2t + 1)$

$y = 2(t+1)^2$

$t = \sin \theta$ の範囲を考慮して、 $y$ の最大値と最小値を求める。

$-1 \le t \le 1$ であるから、

$t = -1$ のとき、 $y = 2(-1+1)^2 = 0$ （最小値）

$t = 1$ のとき、 $y = 2(1+1)^2 = 2(2^2) = 8$ （最大値）

(i) $y$ が最大値8をとるとき

$t = \sin \theta = 1$ より、$\theta = \frac{\pi}{2}$

(ii) $y$ が最小値0をとるとき

$t = \sin \theta = -1$ より、$\theta = \frac{3\pi}{2}$

3. 最終的な答え

最大値: 8 ($\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき)

最小値: 0 ($\theta = \frac{3\pi}{2}$ のとき)