問1は極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 2} x^3 + 2$ (2) $\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 9x}{x^2 + x - 12}$ (3) $\lim_{x \to 2} \frac{x-4}{x^2 + x - 20}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{2x}$ (5) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2ax} - e^{2bx}}{\sin 3x}$ (6) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$ (7) $\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。まずは問1の(1)から(7)までを解きます。

1. 問題の内容

問1は極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 2} x^3 + 2$

(2) $\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 9x}{x^2 + x - 12}$

(3) $\lim_{x \to 2} \frac{x-4}{x^2 + x - 20}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{2x}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{2ax} - e^{2bx}}{\sin 3x}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}$

(7) $\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $x$に$2$を代入するだけです。

$\lim_{x \to 2} x^3 + 2 = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$

(2) 分子と分母を因数分解します。

$\lim_{x \to 3} \frac{x^3 - 9x}{x^2 + x - 12} = \lim_{x \to 3} \frac{x(x^2 - 9)}{(x+4)(x-3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x(x-3)(x+3)}{(x+4)(x-3)} = \lim_{x \to 3} \frac{x(x+3)}{x+4}$

$x$に$3$を代入します。

$\lim_{x \to 3} \frac{x(x+3)}{x+4} = \frac{3(3+3)}{3+4} = \frac{3 \cdot 6}{7} = \frac{18}{7}$

(3) 分母を因数分解します。

$\lim_{x \to 2} \frac{x-4}{x^2 + x - 20} = \lim_{x \to 2} \frac{x-4}{(x+5)(x-4)} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{x+5}$

$x$に$2$を代入します。

$\lim_{x \to 2} \frac{1}{x+5} = \frac{1}{2+5} = \frac{1}{7}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{2x}$

これは$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \log a$ の公式を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{2x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \frac{1}{2} \log a$

(5) ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2ax} - e^{2bx}}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2ae^{2ax} - 2be^{2bx}}{3\cos 3x}$

$x$に$0$を代入します。

$\lim_{x \to 0} \frac{2ae^{2ax} - 2be^{2bx}}{3\cos 3x} = \frac{2a - 2b}{3} = \frac{2(a-b)}{3}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の公式を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 \cdot 1 = 2$

(7) $\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} = \lim_{x \to \infty} (1 + \frac{\sin x}{x})$

$-1 \leq \sin x \leq 1$ より、 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$

$\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{\sin x}{x}) = 1 + 0 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 10

(2) $\frac{18}{7}$

(3) $\frac{1}{7}$

(4) $\frac{1}{2} \log a$

(5) $\frac{2(a-b)}{3}$

(6) 2

(7) 1