与えられた10個の関数をそれぞれ $x$ について微分する問題です。

1. 問題の内容

与えられた10個の関数をそれぞれ $x$ について微分する問題です。

2. 解き方の手順

各関数の微分を以下に示します。

(1) $f(x) = ax^2 + bx + c$

$f'(x) = 2ax + b$

(2) $f(x) = e^{-x^2}$

$f'(x) = -2xe^{-x^2}$

(3) $f(x) = x \sin x$

$f'(x) = \sin x + x \cos x$

(4) $f(x) = 2\sqrt{x} = 2x^{1/2}$

$f'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

(5) $f(x) = \frac{1}{1 + \cos 2x}$

$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ より $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$

$f(x) = \frac{1}{2 \cos^2 x} = \frac{1}{2} \sec^2 x$

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2 \sec x (\sec x \tan x) = \sec^2 x \tan x = \frac{\sin x}{\cos^3 x}$

または、

$f'(x) = -\frac{-2 \sin 2x}{(1+\cos 2x)^2} = \frac{2\sin 2x}{(1+\cos 2x)^2} = \frac{4\sin x \cos x}{4\cos^4 x} = \frac{\sin x}{\cos^3 x}$

(6) $f(x) = \cos^2 3x$

$f'(x) = 2 \cos 3x \cdot (-3 \sin 3x) = -6 \cos 3x \sin 3x = -3 \sin 6x$

(7) $f(x) = \log |2x - 3|$

$f'(x) = \frac{2}{2x-3}$

(8) $f(x) = (\sqrt{a} + \sqrt{x})^3$

$f'(x) = 3(\sqrt{a} + \sqrt{x})^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} (\sqrt{a} + \sqrt{x})^2$

(9) $f(x) = \sin^{-1} x$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

(10) $f(x) = \sqrt{x + \cos 2x}$

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + \cos 2x}} \cdot (1 - 2\sin 2x) = \frac{1 - 2\sin 2x}{2\sqrt{x + \cos 2x}}$

3. 最終的な答え

(1) $2ax + b$

(2) $-2xe^{-x^2}$

(3) $\sin x + x \cos x$

(4) $\frac{1}{\sqrt{x}}$

(5) $\frac{\sin x}{\cos^3 x}$

(6) $-3 \sin 6x$

(7) $\frac{2}{2x-3}$

(8) $\frac{3}{2\sqrt{x}} (\sqrt{a} + \sqrt{x})^2$

(9) $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

(10) $\frac{1 - 2\sin 2x}{2\sqrt{x + \cos 2x}}$