$\sqrt[3]{x^3(x+1)^2(x+2)}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

$\sqrt[3]{x^3(x+1)^2(x+2)}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

与えられた関数を $y$ とおくと、

$y = \sqrt[3]{x^3(x+1)^2(x+2)} = (x^3(x+1)^2(x+2))^{1/3}$

両辺の対数をとると、

$\ln y = \frac{1}{3} \ln(x^3(x+1)^2(x+2))$

$\ln y = \frac{1}{3} (\ln(x^3) + \ln((x+1)^2) + \ln(x+2))$

$\ln y = \frac{1}{3} (3\ln x + 2\ln(x+1) + \ln(x+2))$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{x} + \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{3} \left( \frac{3}{x} + \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} \right)$

$y = \sqrt[3]{x^3(x+1)^2(x+2)}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt[3]{x^3(x+1)^2(x+2)}}{3} \left( \frac{3}{x} + \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x(x+1)^{2/3}(x+2)^{1/3}}{3} \left( \frac{3}{x} + \frac{2}{x+1} + \frac{1}{x+2} \right)$

$\frac{dy}{dx} = x(x+1)^{2/3}(x+2)^{1/3} \left( \frac{1}{x} + \frac{2}{3(x+1)} + \frac{1}{3(x+2)} \right)$

$\frac{dy}{dx} = (x+1)^{2/3}(x+2)^{1/3} + \frac{2x(x+1)^{-1/3}(x+2)^{1/3}}{3} + \frac{x(x+1)^{2/3}(x+2)^{-2/3}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (x+1)^{2/3}(x+2)^{1/3} + \frac{2x(x+1)^{-1/3}(x+2)^{1/3}}{3} + \frac{x(x+1)^{2/3}(x+2)^{-2/3}}{3}$