与えられた2つの定積分の値を求めます。 (1) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} (x+1) \sqrt{1-2x^2} dx$ (2) $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2} \log \sqrt{1+x^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分の値を求めます。

(1) $\int_{0}^{\frac{1}{2}} (x+1) \sqrt{1-2x^2} dx$

(2) $\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2} \log \sqrt{1+x^2} dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、積分を2つに分けます。

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} (x+1) \sqrt{1-2x^2} dx = \int_{0}^{\frac{1}{2}} x\sqrt{1-2x^2} dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1-2x^2} dx$

最初の積分について、$u = 1-2x^2$ と置換すると、$du = -4x dx$ となります。

したがって、$x dx = -\frac{1}{4} du$ となり、積分範囲は $x=0$ のとき $u=1$, $x=\frac{1}{2}$ のとき $u = 1 - 2(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2}$ となります。

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} x\sqrt{1-2x^2} dx = \int_{1}^{\frac{1}{2}} \sqrt{u} (-\frac{1}{4}) du = \frac{1}{4} \int_{\frac{1}{2}}^{1} \sqrt{u} du = \frac{1}{4} [\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{\frac{1}{2}}^{1} = \frac{1}{6} (1 - (\frac{1}{2})^{\frac{3}{2}}) = \frac{1}{6} (1 - \frac{1}{2\sqrt{2}}) = \frac{1}{6} (1 - \frac{\sqrt{2}}{4}) = \frac{4-\sqrt{2}}{24}$

次の積分について、$x = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\theta$ と置換すると、$dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos\theta d\theta$ となります。

$\sqrt{1-2x^2} = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \cos\theta$

積分範囲は $x=0$ のとき $\theta=0$, $x=\frac{1}{2}$ のとき $\frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\theta$ より $\sin\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ なので、$\theta = \frac{\pi}{4}$ となります。

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1-2x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos\theta \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cos\theta d\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2\theta d\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1+\cos(2\theta)}{2} d\theta = \frac{1}{2\sqrt{2}} [\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} (\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{\pi+2}{8\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\pi+2)}{16}$

したがって、$\int_{0}^{\frac{1}{2}} (x+1) \sqrt{1-2x^2} dx = \frac{4-\sqrt{2}}{24} + \frac{\sqrt{2}(\pi+2)}{16} = \frac{16 - 4\sqrt{2} + 6\sqrt{2}\pi + 12\sqrt{2}}{96} = \frac{16 + 8\sqrt{2} + 6\sqrt{2}\pi}{96} = \frac{8 + 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2}\pi}{48}$

(2)

部分積分を使います。$u = \log \sqrt{1+x^2}, dv = \frac{1}{x^2} dx$ とおくと、$du = \frac{1}{2} \frac{1}{1+x^2} 2x dx = \frac{x}{1+x^2} dx, v = -\frac{1}{x}$ となります。

$\int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{x^2} \log \sqrt{1+x^2} dx = [-\frac{1}{x} \log \sqrt{1+x^2}]_{1}^{\sqrt{3}} - \int_{1}^{\sqrt{3}} (-\frac{1}{x}) \frac{x}{1+x^2} dx = [-\frac{1}{x} \log \sqrt{1+x^2}]_{1}^{\sqrt{3}} + \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} dx$

$= [-\frac{1}{x} \log \sqrt{1+x^2}]_{1}^{\sqrt{3}} + [\arctan x]_{1}^{\sqrt{3}} = [-\frac{1}{x} \frac{1}{2}\log (1+x^2)]_{1}^{\sqrt{3}} + [\arctan x]_{1}^{\sqrt{3}}$

$= [-\frac{\log (1+x^2)}{2x}]_{1}^{\sqrt{3}} + [\arctan x]_{1}^{\sqrt{3}} = (-\frac{\log 4}{2\sqrt{3}} + \frac{\log 2}{2}) + (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = -\frac{2\log 2}{2\sqrt{3}} + \frac{\log 2}{2} + \frac{\pi}{12} = -\frac{\log 2}{\sqrt{3}} + \frac{\log 2}{2} + \frac{\pi}{12} = \frac{-\sqrt{3}\log 2 + (3/2)\log(2)}{3\sqrt{3}/2}$

$= \log 2 (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3}) + \frac{\pi}{12} = \log 2 (\frac{3 - 2\sqrt{3}}{6}) + \frac{\pi}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8 + 4\sqrt{2} + 3\sqrt{2}\pi}{48}$

(2) $\log 2 (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{3}) + \frac{\pi}{12}$

または

(2) $\log 2 \frac{3-2\sqrt{3}}{6} + \frac{\pi}{12}$