画像に記載されている数学の問題は、以下の通りです。 問3： (1) $\sin^{-1}(-1)$ を求めよ。 (2) $\cos^{-1}(\frac{1}{2})$ を求めよ。 (3) $\log_{10} \frac{1}{1000}$ を求めよ。 (4) $\log_{3} 81$ を求めよ。 問4： (1) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + ax - b}{x - 3} & (x > 3) \\ 0 & (x \le 3) \end{cases}$ がすべての点で連続となるように定数 $a, b$ を定めよ。 (2) $y = f(x) = 2x^3 + x^2 + 1$ の $x = 1$ における接線の方程式を求めよ。 (3) 放物線 $y = ax^2 + b$ が、$x = 2$ において直線 $y = 12x - 3$ と接するとき、$a, b$ の値を求めよ。 (4) $f(x) = \frac{x^2(x + 2)^3}{(x + 1)^2}$ に対して $f'(1)$ を求めよ。

## 回答

1. 問題の内容

画像に記載されている数学の問題は、以下の通りです。

問3：

(1) $\sin^{-1}(-1)$ を求めよ。

(2) $\cos^{-1}(\frac{1}{2})$ を求めよ。

(3) $\log_{10} \frac{1}{1000}$ を求めよ。

(4) $\log_{3} 81$ を求めよ。

問4：

(1) $f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + ax - b}{x - 3} & (x > 3) \\ 0 & (x \le 3) \end{cases}$ がすべての点で連続となるように定数 $a, b$ を定めよ。

(2) $y = f(x) = 2x^3 + x^2 + 1$ の $x = 1$ における接線の方程式を求めよ。

(3) 放物線 $y = ax^2 + b$ が、$x = 2$ において直線 $y = 12x - 3$ と接するとき、$a, b$ の値を求めよ。

(4) $f(x) = \frac{x^2(x + 2)^3}{(x + 1)^2}$ に対して $f'(1)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

問3：

(1) $\sin^{-1}(-1)$ は、$\sin(\theta) = -1$ となる $\theta$ を求める問題です。$\sin^{-1}$ の値域は $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ であることに注意すると、$\theta = -\frac{\pi}{2}$ となります。

(2) $\cos^{-1}(\frac{1}{2})$ は、$\cos(\theta) = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求める問題です。$\cos^{-1}$ の値域は $[0, \pi]$ であることに注意すると、$\theta = \frac{\pi}{3}$ となります。

(3) $\log_{10} \frac{1}{1000} = \log_{10} 10^{-3} = -3$ となります。

(4) $\log_{3} 81 = \log_{3} 3^4 = 4$ となります。

問4：

(1) $f(x)$ が $x=3$ で連続となるためには、$\lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) = 0$ である必要があります。

$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \frac{x^2 + ax - b}{x - 3}$

$x \to 3$ のとき、分母が $0$ に近づくので、分子も $0$ に近づく必要があります。

したがって、$3^2 + 3a - b = 0$ より、$9 + 3a - b = 0$ つまり $b = 3a + 9$ が成り立ちます。

$b$ を代入すると、

$\lim_{x \to 3^+} \frac{x^2 + ax - (3a + 9)}{x - 3} = \lim_{x \to 3^+} \frac{(x - 3)(x + a + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3^+} (x + a + 3) = 6 + a$

これが $0$ に等しいので、$6 + a = 0$ より $a = -6$ です。

$b = 3a + 9 = 3(-6) + 9 = -18 + 9 = -9$ となります。

(2) $f(x) = 2x^3 + x^2 + 1$ より、$f'(x) = 6x^2 + 2x$ です。

$x = 1$ における接線の傾きは、$f'(1) = 6(1)^2 + 2(1) = 8$ です。

$x = 1$ における $f(x)$ の値は、$f(1) = 2(1)^3 + (1)^2 + 1 = 4$ です。

したがって、接線の方程式は、$y - 4 = 8(x - 1)$ より、$y = 8x - 4$ となります。

(3) $y = ax^2 + b$ を微分すると、$y' = 2ax$ です。$x = 2$ における接線の傾きは、$y'(2) = 4a$ です。

これが直線 $y = 12x - 3$ の傾き $12$ に等しいので、$4a = 12$ より $a = 3$ です。

$x = 2$ における $y$ の値は、$y = a(2)^2 + b = 4a + b = 12 + b$ です。

また、$y = 12x - 3$ に $x = 2$ を代入すると、$y = 12(2) - 3 = 21$ です。

したがって、$12 + b = 21$ より、$b = 9$ となります。

(4) $f(x) = \frac{x^2(x + 2)^3}{(x + 1)^2}$

$f'(x) = \frac{[2x(x+2)^3 + x^2 \cdot 3(x+2)^2] (x+1)^2 - x^2(x+2)^3 \cdot 2(x+1)}{(x+1)^4}$

$f'(1) = \frac{[2(3)^3 + 3(3)^2](2)^2 - (3)^3 \cdot 2(2)}{(2)^4} = \frac{[54+27]4 - 27 \cdot 4}{16} = \frac{81 \cdot 4 - 27 \cdot 4}{16} = \frac{54 \cdot 4}{16} = \frac{54}{4} = \frac{27}{2}$

3. 最終的な答え

問3：

(1) $-\frac{\pi}{2}$

(2) $\frac{\pi}{3}$

(3) $-3$

(4) $4$

問4：

(1) $a = -6, b = -9$

(2) $y = 8x - 4$

(3) $a = 3, b = 9$

(4) $f'(1) = \frac{27}{2}$