与えられた極限 $ \lim_{x\to 0} \frac{\cos x - \cos(x^2)}{x^2} $ を求める問題。平均値の定理を利用する必要がある。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - \cos(x^2)}{x^2}$ を求める問題。平均値の定理を利用する必要がある。

2. 解き方の手順

$f(x) = \cos x$ とおく。

$f'(x) = -\sin x$

平均値の定理より、

$\frac{f(x^2) - f(x)}{x^2 - x} = f'(c)$ を満たす $x$ と $x^2$ の間の $c$ が存在する。

したがって、$\frac{\cos(x^2) - \cos(x)}{x^2 - x} = -\sin c$

求める極限は、

$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - \cos(x^2)}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos x - \cos(x^2)}{x^2 - x} \frac{x^2-x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos x - \cos(x^2)}{x^2 - x} \lim_{x\to 0} \frac{x-x^2}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos x - \cos(x^2)}{x^2 - x} \lim_{x\to 0} (\frac{1}{x}-1)$

平均値の定理より、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos(x^2)}{x^2-x} = \lim_{x \to 0} \sin c$

$x \to 0$ より、$x^2 \to 0$ であるから、$c \to 0$。したがって $\lim_{x \to 0} \sin c = \sin 0 = 0$

求める極限は、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos(x^2)}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{\cos x - (1-\frac{x^4}{2}+\cdots)}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\frac{x^2}{2}+\cdots - (1-\frac{x^4}{2}+\cdots)}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = -\frac{1}{2}$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\cos (x^2) = 1 - \frac{x^4}{2!} + \frac{x^8}{4!} - \cdots$

$\frac{\cos x - \cos(x^2)}{x^2} = \frac{(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots ) - (1 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^8}{24} - \cdots)}{x^2} = \frac{-\frac{x^2}{2} + \frac{13}{24}x^4 + \cdots}{x^2} = -\frac{1}{2} + \frac{13}{24}x^2 + \cdots$

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos(x^2)}{x^2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$