次の数列の極限を求めます。 (1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 1}$ (2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{3a_n + 4}{2a_n + 3}$

1. 問題の内容

次の数列の極限を求めます。

(1) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 1}$

(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{3a_n + 4}{2a_n + 3}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a_n$ が単調増加で有界であることを示します。

まず、$a_1 = 1$ より $a_2 = \sqrt{1+1} = \sqrt{2} > 1 = a_1$.

次に，$a_n > 0$ を数学的帰納法で示す。$a_1 = 1 > 0$ であり、$a_k > 0$ ならば、$a_{k+1} = \sqrt{a_k + 1} > \sqrt{1} = 1 > 0$ なので、$a_n > 0$ が成り立つ。

$a_{n+1} - a_n = \sqrt{a_n+1} - a_n = \frac{a_n+1-a_n^2}{\sqrt{a_n+1}+a_n} = \frac{-(a_n^2 - a_n -1)}{\sqrt{a_n+1}+a_n}$

$a_n \le \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ を示す。$a_1 = 1 < \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

$a_k < \frac{1+\sqrt{5}}{2}$を仮定すると、$a_{k+1} = \sqrt{a_k + 1} < \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2} + 1} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} = \sqrt{\frac{6+2\sqrt{5}}{4}} = \sqrt{\frac{(1+\sqrt{5})^2}{4}} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

なので、$a_n < \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

$a_n^2-a_n-1 \le 0$ なので、$a_{n+1} - a_n > 0$。よって$a_n$ は単調増加。

したがって、$a_n$ は単調増加で有界なので極限値 $L$ を持つ。

$a_{n+1} = \sqrt{a_n + 1}$ の両辺の極限を取ると、

$L = \sqrt{L+1}$

$L^2 = L+1$

$L^2 - L - 1 = 0$

$L = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$a_n > 0$ より、$L > 0$ であるから、$L = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$

(2)

まず、$a_n$ が $2$ に収束することを示します。$a_1 = 1$ であり、$a_2 = \frac{3+4}{2+3} = \frac{7}{5} = 1.4$.

$a_3 = \frac{3(\frac{7}{5}) + 4}{2(\frac{7}{5}) + 3} = \frac{\frac{21}{5} + \frac{20}{5}}{\frac{14}{5} + \frac{15}{5}} = \frac{41}{29} \approx 1.413$

$a_{n+1} - 2 = \frac{3a_n+4}{2a_n+3} - 2 = \frac{3a_n+4 - 4a_n - 6}{2a_n+3} = \frac{-2-a_n}{2a_n+3}$.

$a_n > 0$ を示す。$a_1 = 1 > 0$ であり、$a_k > 0$ ならば $a_{k+1} = \frac{3a_k + 4}{2a_k + 3} > 0$。

$L = \frac{3L+4}{2L+3}$.

$2L^2 + 3L = 3L+4$

$2L^2 = 4$

$L^2 = 2$

$L = \pm \sqrt{2}$

$a_n > 0$ なので、$L= \sqrt{2}$.

$a_{n+1} - a_n = \frac{3a_n+4}{2a_n+3} - a_n = \frac{3a_n+4-2a_n^2 - 3a_n}{2a_n+3} = \frac{4 - 2a_n^2}{2a_n+3}$.

もし$a_n < \sqrt{2}$ならば $a_{n+1} - a_n > 0$なので、$a_{n+1} > a_n$。もし$a_n > \sqrt{2}$ならば $a_{n+1} < a_n$

$a_1 = 1 < \sqrt{2}$, $a_2 = \frac{7}{5} = 1.4 < \sqrt{2}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

(2) 2