$\int \frac{1}{\cos^2(3x)} dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int \frac{1}{\cos^2(3x)} dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{\cos^2(x)}$ は $\sec^2(x)$ と同じなので、積分は $\int \sec^2(3x) dx$ と書き換えられます。

$\int \sec^2(x) dx = \tan(x) + C$ であることを利用します。

置換積分を行います。$u = 3x$ とおくと、$\frac{du}{dx} = 3$ より $dx = \frac{1}{3}du$ となります。

積分は

$\int \sec^2(u) \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \sec^2(u) du = \frac{1}{3} \tan(u) + C$

となります。

$u = 3x$ を代入すると、

$\frac{1}{3} \tan(3x) + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \tan(3x) + C$