関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ について、$f^{(n)}(0)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ について、$f^{(n)}(0)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ をマクローリン展開（0を中心とするテイラー展開）することを考えます。

$f(x) = (1-x^2)^{-\frac{1}{2}}$ であることから、二項定理を用います。

$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \dots$

この式に、$\alpha = -\frac{1}{2}$、そして$x$を$-x^2$で置き換えると、

$(1-x^2)^{-\frac{1}{2}} = 1 + (-\frac{1}{2})(-x^2) + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2!} (-x^2)^2 + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})}{3!} (-x^2)^3 + \dots$

$= 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1 \cdot 3}{2^2 \cdot 2!} x^4 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2^3 \cdot 3!} x^6 + \dots + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)}{2^n \cdot n!} x^{2n} + \dots$

ここで、マクローリン展開は、

$f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!} x + \frac{f''(0)}{2!} x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + \dots$

ですから、$x^{2n}$の係数について、

$\frac{f^{(2n)}(0)}{(2n)!} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)}{2^n \cdot n!}$

$f^{(2n)}(0) = \frac{(2n)!}{2^n \cdot n!} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)$

また、奇数のべき乗の項は存在しないので、$k$を整数として、$f^{(2k+1)}(0)=0$です。

さらに、$1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1)$ は $(2n)!$ を偶数の積 $2 \cdot 4 \cdot 6 \dots (2n) = 2^n \cdot n!$ で割ったものなので、

$1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n-1) = \frac{(2n)!}{2^n \cdot n!}$

これを代入すると、

$f^{(2n)}(0) = \frac{(2n)!}{2^n n!} \cdot \frac{(2n)!}{2^n n!} = \left( \frac{(2n)!}{2^n n!} \right)^2$

3. 最終的な答え

$n$が偶数のとき、$n = 2k$とすると、$f^{(n)}(0) = \left( \frac{(2k)!}{2^k k!} \right)^2$

$n$が奇数のとき、$f^{(n)}(0) = 0$