関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 2})$ の導関数 $dy/dx$ を求めます。ここで、$\log$ は自然対数を表します。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 2})$ の導関数 $dy/dx$ を求めます。ここで、$\log$ は自然対数を表します。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分公式（連鎖律）を適用します。

連鎖律は、関数 $y = f(g(x))$ の導関数が $\frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx}$ で与えられるというものです。

この問題では、$f(u) = \log(u)$ であり、$g(x) = x + \sqrt{x^2 + 2}$ と考えることができます。

ステップ1: $f(u) = \log(u)$ の微分を求めます。

$\frac{df}{du} = \frac{1}{u}$

ステップ2: $g(x) = x + \sqrt{x^2 + 2}$ の微分を求めます。

$\frac{dg}{dx} = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 2}} \cdot (2x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 2}}$

ステップ3: $\frac{dg}{dx}$ を通分します。

$\frac{dg}{dx} = \frac{\sqrt{x^2 + 2} + x}{\sqrt{x^2 + 2}}$

ステップ4: 連鎖律を適用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{dg}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 2} + x}{\sqrt{x^2 + 2}}$

ここで、$u = x + \sqrt{x^2 + 2}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 2}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 + 2}}{\sqrt{x^2 + 2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2}}$