与えられた4つの関数をマクローリン展開（テイラー展開の中心を0とする場合）し、4次までの項を求める問題です。関数は以下の通りです。 (i) $f(x) = \cos^2 x$ (ii) $f(x) = \log \frac{1+x}{1-x}$ (iii) $f(x) = \sinh x$ (iv) $f(x) = \cosh x$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数をマクローリン展開（テイラー展開の中心を0とする場合）し、4次までの項を求める問題です。関数は以下の通りです。

(i) $f(x) = \cos^2 x$

(ii) $f(x) = \log \frac{1+x}{1-x}$

(iii) $f(x) = \sinh x$

(iv) $f(x) = \cosh x$

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数$f(x)$に対して以下の式で表されます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \cdots$

各関数について、4次までの項を求めます。

(i) $f(x) = \cos^2 x$

$f(x) = \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$

$f(0) = \cos^2 0 = 1$

$f'(x) = -\sin 2x$

$f'(0) = 0$

$f''(x) = -2\cos 2x$

$f''(0) = -2$

$f'''(x) = 4\sin 2x$

$f'''(0) = 0$

$f^{(4)}(x) = 8\cos 2x$

$f^{(4)}(0) = 8$

$f(x) = 1 + 0x + \frac{-2}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{8}{4!}x^4 + \cdots$

$f(x) = 1 - x^2 + \frac{1}{3}x^4 + \cdots$

(ii) $f(x) = \log \frac{1+x}{1-x}$

$f(x) = \log(1+x) - \log(1-x)$

$f(0) = \log(1) - \log(1) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} = \frac{2}{1-x^2}$

$f'(0) = 2$

$f''(x) = \frac{4x}{(1-x^2)^2}$

$f''(0) = 0$

$f'''(x) = \frac{4(1-x^2)^2 + 4x \cdot 2(1-x^2)(2x)}{(1-x^2)^4} = \frac{4(1-x^2)+16x^2}{(1-x^2)^3} = \frac{4+12x^2}{(1-x^2)^3}$

$f'''(0) = 4$

$f^{(4)}(x) = \frac{24x(1-x^2)^3 - (4+12x^2)3(1-x^2)^2(-2x)}{(1-x^2)^6} = \frac{24x(1-x^2) + 6x(4+12x^2)}{(1-x^2)^4} = \frac{24x-24x^3+24x+72x^3}{(1-x^2)^4} = \frac{48x+48x^3}{(1-x^2)^4}$

$f^{(4)}(0) = 0$

$f(x) = 0 + 2x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{4}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \cdots$

$f(x) = 2x + \frac{2}{3}x^3 + \cdots$

(iii) $f(x) = \sinh x$

$f(0) = \sinh 0 = 0$

$f'(x) = \cosh x$

$f'(0) = 1$

$f''(x) = \sinh x$

$f''(0) = 0$

$f'''(x) = \cosh x$

$f'''(0) = 1$

$f^{(4)}(x) = \sinh x$

$f^{(4)}(0) = 0$

$f(x) = 0 + x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \cdots$

$f(x) = x + \frac{1}{6}x^3 + \cdots$

(iv) $f(x) = \cosh x$

$f(0) = \cosh 0 = 1$

$f'(x) = \sinh x$

$f'(0) = 0$

$f''(x) = \cosh x$

$f''(0) = 1$

$f'''(x) = \sinh x$

$f'''(0) = 0$

$f^{(4)}(x) = \cosh x$

$f^{(4)}(0) = 1$

$f(x) = 1 + 0x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \cdots$

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4 + \cdots$

3. 最終的な答え

(i) $f(x) = 1 - x^2 + \frac{1}{3}x^4 + \cdots$

(ii) $f(x) = 2x + \frac{2}{3}x^3 + \cdots$

(iii) $f(x) = x + \frac{1}{6}x^3 + \cdots$

(iv) $f(x) = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{24}x^4 + \cdots$