与えられた関数 $y = \tan^{-1}(\sin^{-1} x)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \tan^{-1}(\sin^{-1} x)$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、合成関数の微分法則（連鎖律）を用いる。

$y = \tan^{-1}(u)$ とおくと、$u = \sin^{-1} x$ である。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(\tan^{-1} u) = \frac{1}{1 + u^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\sin^{-1} x)^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(1 + (\sin^{-1} x)^2)\sqrt{1 - x^2}}$