$0 < a < 2$ を満たす定数 $a$ がある。直線 $y = a(x-2)$ (①) と放物線 $y = x^2 - 2x$ (②) について、以下の問いに答える。 (1) 直線①と放物線②で囲まれた図形の面積を $S_1$ とする。$S_1$ を $a$ を用いて表す。 (2) 直線①と放物線②および $y$ 軸のすべてで囲まれた図形の面積を $S_2$ とし、(1) で定めた $S_1$ と $S_2$ の和を $S$ とする。$S$ を $a$ を用いて表す。 (3) $a$ が $0 < a < 2$ の範囲で変化するとき、$S$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

$0 < a < 2$ を満たす定数 $a$ がある。直線 $y = a(x-2)$ (①) と放物線 $y = x^2 - 2x$ (②) について、以下の問いに答える。

(1) 直線①と放物線②で囲まれた図形の面積を $S_1$ とする。$S_1$ を $a$ を用いて表す。

(2) 直線①と放物線②および $y$ 軸のすべてで囲まれた図形の面積を $S_2$ とし、(1) で定めた $S_1$ と $S_2$ の和を $S$ とする。$S$ を $a$ を用いて表す。

(3) $a$ が $0 < a < 2$ の範囲で変化するとき、$S$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、直線 $y = a(x-2)$ と放物線 $y = x^2 - 2x$ の交点の $x$ 座標を求める。

$a(x-2) = x^2 - 2x$

$ax - 2a = x^2 - 2x$

$x^2 - (2+a)x + 2a = 0$

$(x-2)(x-a) = 0$

よって、交点の $x$ 座標は $x = 2, a$ となる。

$S_1 = \int_a^2 \{a(x-2) - (x^2 - 2x)\} dx = \int_a^2 (-x^2 + (2+a)x - 2a) dx$

$S_1 = \left[-\frac{1}{3}x^3 + \frac{2+a}{2}x^2 - 2ax \right]_a^2 = \left(-\frac{8}{3} + 2(2+a) - 4a\right) - \left(-\frac{1}{3}a^3 + \frac{2+a}{2}a^2 - 2a^2\right)$

$S_1 = -\frac{8}{3} + 4 + 2a - 4a + \frac{1}{3}a^3 - a^2 - \frac{1}{2}a^3 + 2a^2 = \frac{1}{6}a^3 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{4}{3}$

$S_1 = \frac{1}{6}a^3 + \frac{1}{2}a^2 - a + \frac{4}{3} = \frac{1}{6}(2-a)^3$

$S_1 = \frac{1}{6}a^3 - \frac{1}{2}a^2 = \frac{1}{6}a^3 + 0a^2 - a + \frac{4}{3}$

(2) 直線 $y = a(x-2)$ と放物線 $y = x^2 - 2x$ および $y$ 軸で囲まれた図形の面積を $S_2$ とする。交点は $x=0$ と $x=a$ なので、$0 < a < 2$ であることに注意して、$S_2$ を計算する。

$S_2 = \int_0^a \{x^2-2x - a(x-2)\} dx = \int_0^a (x^2-(2+a)x+2a) dx = \left[\frac{1}{3}x^3 - \frac{2+a}{2}x^2 + 2ax \right]_0^a$

$S_2 = \frac{1}{3}a^3 - \frac{2+a}{2}a^2 + 2a^2 = \frac{1}{3}a^3 - a^2 - \frac{1}{2}a^3 + 2a^2 = -\frac{1}{6}a^3 + a^2$

$S = S_1 + S_2 = \left( \frac{1}{6}a^3 - \frac{1}{2}a^2 \right) + \left( -\frac{1}{6}a^3 + a^2 \right) = \frac{1}{2}a^2 - a +\frac{4}{3}$

$S=\frac{1}{2}a^2+\frac{4}{3}$

$S=\int_{0}^{a} \left[x^{2} - 2x - a(x-2)\right] dx = \left[ \frac{1}{3} x^{3} - (1+a/2)x^{2} + 2ax \right] _0 ^a = \frac{a^{3}}{3} - (1+\frac{a}{2})a^{2} + 2a^{2} = \frac{1}{3}a^3 - a^2 - \frac{1}{2}a^3 + 2a^2 = -\frac{1}{6}a^3 + a^2$

$S = -\frac{1}{6}a^{3}+a^{2} + \frac{1}{6} a^{3} - \frac{a^{2}}{2} + \frac{4}{3} = \frac{a^{2}}{2} +\frac{4}{3}$

$S = \frac{3}{6} a^2-0 -a+4/3=-\frac{2+a}{2}x^{2} +2ax]

(3) $S = \frac{1}{2}a^2 - a + \frac{4}{3} = \frac{1}{2}(a^2 - 2a) + \frac{4}{3} = \frac{1}{2}(a^2 - 2a + 1) - \frac{1}{2} + \frac{4}{3} = \frac{1}{2}(a-1)^2 + \frac{5}{6}$

$0 < a < 2$ の範囲で、$a=1$ のとき $S$ は最小値 $\frac{5}{6}$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $S_1 = \frac{1}{6}a^3 - \frac{1}{2}a^2 + \frac{4}{3}$

(2) $S = \frac{1}{2}a^2 - a + \frac{4}{3}$

(3) $a=1$ のとき、最小値 $\frac{5}{6}$ をとる。