$\int \tanh(t\sqrt{\frac{mg}{\beta}}) dt$ を計算します。

1. 問題の内容

$\int \tanh(t\sqrt{\frac{mg}{\beta}}) dt$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を簡単にするために、置換を行います。

$u = t\sqrt{\frac{mg}{\beta}}$ と置くと、$\frac{du}{dt} = \sqrt{\frac{mg}{\beta}}$ となります。

したがって、$dt = \sqrt{\frac{\beta}{mg}} du$ となります。

積分は次のようになります。

$\int \tanh(u) \sqrt{\frac{\beta}{mg}} du = \sqrt{\frac{\beta}{mg}} \int \tanh(u) du$

$\tanh(u) = \frac{\sinh(u)}{\cosh(u)}$ であることを思い出してください。

$\int \tanh(u) du = \int \frac{\sinh(u)}{\cosh(u)} du$

ここで、別の置換を行います。

$v = \cosh(u)$ と置くと、$\frac{dv}{du} = \sinh(u)$ となります。

したがって、$du = \frac{dv}{\sinh(u)}$ となります。

積分は次のようになります。

$\int \frac{\sinh(u)}{v} \frac{dv}{\sinh(u)} = \int \frac{1}{v} dv = \ln|v| + C$

$v = \cosh(u)$ を代入して戻すと、

$\int \tanh(u) du = \ln|\cosh(u)| + C$

したがって、元の積分は次のようになります。

$\sqrt{\frac{\beta}{mg}} \int \tanh(u) du = \sqrt{\frac{\beta}{mg}} \ln|\cosh(u)| + C$

最後に、$u = t\sqrt{\frac{mg}{\beta}}$ を代入して戻すと、

$\int \tanh(t\sqrt{\frac{mg}{\beta}}) dt = \sqrt{\frac{\beta}{mg}} \ln|\cosh(t\sqrt{\frac{mg}{\beta}})| + C$

3. 最終的な答え

$\sqrt{\frac{\beta}{mg}} \ln|\cosh(t\sqrt{\frac{mg}{\beta}})| + C$