$\tanh x$ の不定積分を求めます。つまり、$\int \tanh x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

$\tanh x$ の不定積分を求めます。つまり、$\int \tanh x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\tanh x$ を $\sinh x / \cosh x$ と書き換えます。

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \tanh x \, dx = \int \frac{\sinh x}{\cosh x} \, dx$

ここで、置換積分を行います。$u = \cosh x$ と置くと、$du = \sinh x \, dx$ となります。

$\int \frac{\sinh x}{\cosh x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du$

$\int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C$

ここで、$u = \cosh x$ を代入します。

$\ln |u| + C = \ln |\cosh x| + C$

$\cosh x$ は常に正であるため、絶対値記号を省略できます。

$\ln |\cosh x| + C = \ln (\cosh x) + C$

3. 最終的な答え

$\int \tanh x \, dx = \ln (\cosh x) + C$