曲線 $y=x^3-4x^2$ 上の点 $A(3,-9)$ における接線 $l$ について、以下の問題を解く。 (1) 接線 $l$ の方程式を求めよ。 (2) この曲線上に、接線 $l$ に平行なもう1本の接線が存在する。その接点 $B$ の $x$ 座標を求めよ。

1. 問題の内容

曲線 $y=x^3-4x^2$ 上の点 $A(3,-9)$ における接線 $l$ について、以下の問題を解く。

(1) 接線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) この曲線上に、接線 $l$ に平行なもう1本の接線が存在する。その接点 $B$ の $x$ 座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 接線 $l$ の方程式を求める。

まず、与えられた曲線を微分して、導関数 $y'$ を求める。

$y = x^3 - 4x^2$ なので、

$y' = 3x^2 - 8x$

点 $A(3,-9)$ における接線の傾きは、$y'$ に $x=3$ を代入することで求められる。

$y'(3) = 3(3)^2 - 8(3) = 27 - 24 = 3$

よって、接線 $l$ の傾きは $3$ である。点 $A(3,-9)$ を通る傾き $3$ の直線の方程式は、

$y - (-9) = 3(x - 3)$

$y + 9 = 3x - 9$

$y = 3x - 18$

(2) 接線 $l$ に平行なもう1本の接線の接点 $B$ の $x$ 座標を求める。

接線 $l$ に平行な接線の傾きも $3$ である。したがって、接点 $B$ の $x$ 座標を $t$ とすると、$y'(t) = 3$ となる。

$3t^2 - 8t = 3$

$3t^2 - 8t - 3 = 0$

$(3t + 1)(t - 3) = 0$

$t = 3, -\frac{1}{3}$

$t=3$ は点 $A$ の $x$ 座標なので、求める接点 $B$ の $x$ 座標は $t = -\frac{1}{3}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 接線 $l$ の方程式: $y = 3x - 18$

(2) 接点 $B$ の $x$ 座標: $-\frac{1}{3}$