与えられた極限を計算する問題です。 (4) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\cos{x}}$ (5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{\sin{2x}}$ (6) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan{3x}}{\tan{4x}}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\cos{x}}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{\sin{2x}}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan{3x}}{\tan{4x}}$

2. 解き方の手順

(4) $x$ が0に近づくとき、$\cos{x}$ は1に近づきます。したがって、極限は $\frac{0}{1}$ となり、0に収束します。

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{\sin{2x}}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形です。そこで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$ の性質を利用します。

$\frac{\sin{3x}}{\sin{2x}} = \frac{\sin{3x}}{3x} \cdot \frac{2x}{\sin{2x}} \cdot \frac{3x}{2x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{3x} = 1$ および $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{2x}}{2x} = 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{\sin{2x}} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan{3x}}{\tan{4x}}$ も $\frac{0}{0}$ の不定形です。そこで、$\lim_{x \to 0} \frac{\tan{x}}{x} = 1$ の性質を利用します。

$\frac{\tan{3x}}{\tan{4x}} = \frac{\tan{3x}}{3x} \cdot \frac{4x}{\tan{4x}} \cdot \frac{3x}{4x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\tan{3x}}{3x} = 1$ および $\lim_{x \to 0} \frac{\tan{4x}}{4x} = 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan{3x}}{\tan{4x}} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\cos{x}} = 0$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin{3x}}{\sin{2x}} = \frac{3}{2}$

(6) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan{3x}}{\tan{4x}} = \frac{3}{4}$