与えられた関数 $u(x,y)$ を、$x$ と $y$ それぞれで偏微分する問題です。具体的には、以下の6つの関数について偏微分を求めます。 (1) $u(x, y) = x^2y^2$ (2) $u(x, y) = x^2y^{\frac{1}{3}}$ (3) $u(x, y) = x^2y^{-\frac{2}{3}}$ (4) $u(x, y) = x^ay^b$ (5) $u(x, y) = \frac{x^2}{y}$ (6) $u(x, y) = x^4 + \log y$

1. 問題の内容

与えられた関数 $u(x,y)$ を、$x$ と $y$ それぞれで偏微分する問題です。具体的には、以下の6つの関数について偏微分を求めます。

(1) $u(x, y) = x^2y^2$

(2) $u(x, y) = x^2y^{\frac{1}{3}}$

(3) $u(x, y) = x^2y^{-\frac{2}{3}}$

(4) $u(x, y) = x^ay^b$

(5) $u(x, y) = \frac{x^2}{y}$

(6) $u(x, y) = x^4 + \log y$

2. 解き方の手順

偏微分は、ある変数に着目して、他の変数を定数として扱う微分です。

(1) $u(x, y) = x^2y^2$

* $x$ で偏微分: $\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy^2$

* $y$ で偏微分: $\frac{\partial u}{\partial y} = 2x^2y$

(2) $u(x, y) = x^2y^{\frac{1}{3}}$

* $x$ で偏微分: $\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy^{\frac{1}{3}}$

* $y$ で偏微分: $\frac{\partial u}{\partial y} = x^2 \cdot \frac{1}{3}y^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3}x^2y^{-\frac{2}{3}}$

(3) $u(x, y) = x^2y^{-\frac{2}{3}}$

* $x$ で偏微分: $\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy^{-\frac{2}{3}}$

* $y$ で偏微分: $\frac{\partial u}{\partial y} = x^2 \cdot (-\frac{2}{3})y^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3}x^2y^{-\frac{5}{3}}$

(4) $u(x, y) = x^ay^b$

* $x$ で偏微分: $\frac{\partial u}{\partial x} = ax^{a-1}y^b$

* $y$ で偏微分: $\frac{\partial u}{\partial y} = bx^ay^{b-1}$

(5) $u(x, y) = \frac{x^2}{y}$

* $x$ で偏微分: $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x}{y}$

* $y$ で偏微分: $\frac{\partial u}{\partial y} = x^2 \cdot (-1)y^{-2} = -\frac{x^2}{y^2}$

(6) $u(x, y) = x^4 + \log y$

* $x$ で偏微分: $\frac{\partial u}{\partial x} = 4x^3$

* $y$ で偏微分: $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{y}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy^2$, $\frac{\partial u}{\partial y} = 2x^2y$

(2) $\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy^{\frac{1}{3}}$, $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{3}x^2y^{-\frac{2}{3}}$

(3) $\frac{\partial u}{\partial x} = 2xy^{-\frac{2}{3}}$, $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{2}{3}x^2y^{-\frac{5}{3}}$

(4) $\frac{\partial u}{\partial x} = ax^{a-1}y^b$, $\frac{\partial u}{\partial y} = bx^ay^{b-1}$

(5) $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x}{y}$, $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{x^2}{y^2}$

(6) $\frac{\partial u}{\partial x} = 4x^3$, $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{y}$