陰関数 $x^4 + 3x^2 + y^3 - y = 0$ で定まる関数 $y = \phi(x)$ の極値を求めよ。

1. 問題の内容

陰関数 $x^4 + 3x^2 + y^3 - y = 0$ で定まる関数 $y = \phi(x)$ の極値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ で微分します。$y$ は $x$ の関数であることに注意して、合成関数の微分を行います。

$4x^3 + 6x + 3y^2 \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}$ について解くと、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-4x^3 - 6x}{3y^2 - 1}$

極値を取る点では $\frac{dy}{dx} = 0$ となるため、

$-4x^3 - 6x = 0$

$-2x(2x^2 + 3) = 0$

$2x^2 + 3 > 0$ より $x = 0$ を得る。

$x = 0$ を元の式に代入すると、

$0^4 + 3(0)^2 + y^3 - y = 0$

$y^3 - y = 0$

$y(y^2 - 1) = 0$

$y(y-1)(y+1) = 0$

$y = 0, 1, -1$

したがって、極値の候補は $(0, 0), (0, 1), (0, -1)$ となる。

次に、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を計算する。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (\frac{-4x^3 - 6x}{3y^2 - 1})$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(-12x^2 - 6)(3y^2 - 1) - (-4x^3 - 6x)(6y \frac{dy}{dx})}{(3y^2 - 1)^2}$

ここで、$\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x = 0$ のときを考えるので、第2項は0になる。

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(-12x^2 - 6)(3y^2 - 1)}{(3y^2 - 1)^2} = \frac{-12x^2 - 6}{3y^2 - 1}$

$x = 0$ を代入すると、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-6}{3y^2 - 1}$

$(0, 0)$ のとき $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0$ なので、極小値を取る。

$(0, 1)$ のとき $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-6}{3 - 1} = \frac{-6}{2} = -3 < 0$ なので、極大値を取る。

$(0, -1)$ のとき $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-6}{3 - 1} = \frac{-6}{2} = -3 < 0$ なので、極大値を取る。

$x=0$のとき、$y=0,1,-1$だから、

極小値：$\phi(0)=0$

極大値：$\phi(0)=1, \phi(0)=-1$

3. 最終的な答え

極小値：0

極大値：1, -1