与えられた微分方程式を解く問題です。微分方程式は $\frac{dy}{dt} = k(1-\frac{y}{L})y$ であり、初期条件は $y(0) = y_0$ です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式を解く問題です。微分方程式は $\frac{dy}{dt} = k(1-\frac{y}{L})y$ であり、初期条件は $y(0) = y_0$ です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた微分方程式を変数分離します。

$\frac{dy}{dt} = k(1-\frac{y}{L})y$

$\frac{dy}{y(1-\frac{y}{L})} = k dt$

$\frac{dy}{y(1-\frac{y}{L})} = \frac{L}{y(L-y)}dy$

したがって

$\frac{L}{y(L-y)} dy = k dt$

左辺を部分分数分解します。

$\frac{L}{y(L-y)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{L-y}$

$L = A(L-y) + By$

$L = AL - Ay + By$

$L = AL + (B-A)y$

したがって、 $AL=L$ と $B-A = 0$ が成り立ちます。

$A = 1$

$B = A = 1$

したがって、

$\frac{L}{y(L-y)} = \frac{1}{y} + \frac{1}{L-y}$

元の式に戻って積分します。

$\int (\frac{1}{y} + \frac{1}{L-y}) dy = \int k dt$

$\int \frac{1}{y} dy + \int \frac{1}{L-y} dy = \int k dt$

$\ln|y| - \ln|L-y| = kt + C$

$\ln|\frac{y}{L-y}| = kt + C$

$\frac{y}{L-y} = e^{kt+C} = e^C e^{kt} = C_1 e^{kt}$ ($C_1 = e^C$)

$y = (L-y)C_1 e^{kt}$

$y = LC_1e^{kt} - yC_1e^{kt}$

$y(1+C_1e^{kt}) = LC_1e^{kt}$

$y = \frac{LC_1e^{kt}}{1+C_1e^{kt}}$

初期条件 $y(0) = y_0$ を適用します。

$y_0 = \frac{LC_1e^{k(0)}}{1+C_1e^{k(0)}}$

$y_0 = \frac{LC_1}{1+C_1}$

$y_0(1+C_1) = LC_1$

$y_0 + y_0C_1 = LC_1$

$y_0 = LC_1 - y_0C_1$

$y_0 = C_1(L-y_0)$

$C_1 = \frac{y_0}{L-y_0}$

これを元の式に代入します。

$y = \frac{L \frac{y_0}{L-y_0} e^{kt}}{1+\frac{y_0}{L-y_0} e^{kt}}$

$y = \frac{L y_0 e^{kt}}{L-y_0 + y_0 e^{kt}}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{Ly_0 e^{kt}}{L-y_0 + y_0 e^{kt}}$