以下の不定積分を計算する問題です。 (1) $\int \sin^{-1} x \, dx$ (2) $\int x \tan^{-1} x \, dx$ (3) $\int x \ln(x^2+1) \, dx$ (4) $\int x^n \ln |x| \, dx \quad (n \in \mathbb{Z})$ (5) $I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx$, $J = \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} \, dx$ (6) $I = \int \sin(\ln |x|) \, dx$, $J = \int \cos(\ln |x|) \, dx$ (7) $I = \int e^{ax} \sin bx \, dx$, $J = \int e^{ax} \cos bx \, dx \quad (ab \neq 0)$

1. 問題の内容

以下の不定積分を計算する問題です。

(1) $\int \sin^{-1} x \, dx$

(2) $\int x \tan^{-1} x \, dx$

(3) $\int x \ln(x^2+1) \, dx$

(4) $\int x^n \ln |x| \, dx \quad (n \in \mathbb{Z})$

(5) $I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx$, $J = \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} \, dx$

(6) $I = \int \sin(\ln |x|) \, dx$, $J = \int \cos(\ln |x|) \, dx$

(7) $I = \int e^{ax} \sin bx \, dx$, $J = \int e^{ax} \cos bx \, dx \quad (ab \neq 0)$

2. 解き方の手順

(1) $\int \sin^{-1} x \, dx$

部分積分を行います。$u = \sin^{-1} x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$, $v = x$ です。

$\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$ は、$t = 1-x^2$ と置換すると、$dt = -2x \, dx$ なので、$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{t}} dt = -\sqrt{t} = -\sqrt{1-x^2}$ です。

よって、$\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$

(2) $\int x \tan^{-1} x \, dx$

部分積分を行います。$u = \tan^{-1} x$, $dv = x \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{1+x^2} dx$, $v = \frac{1}{2}x^2$ です。

$\int x \tan^{-1} x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2}{1+x^2} dx$

$\int \frac{x^2}{1+x^2} dx = \int \frac{x^2+1-1}{1+x^2} dx = \int (1 - \frac{1}{1+x^2}) dx = x - \tan^{-1} x$

よって、$\int x \tan^{-1} x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \tan^{-1} x - \frac{1}{2}(x - \tan^{-1} x) + C = \frac{1}{2}(x^2+1)\tan^{-1} x - \frac{1}{2}x + C$

(3) $\int x \ln(x^2+1) \, dx$

$t = x^2 + 1$ と置換すると、$dt = 2x \, dx$ なので、

$\int x \ln(x^2+1) \, dx = \frac{1}{2} \int \ln t \, dt$

部分積分を行います。$u = \ln t$, $dv = dt$ とすると、$du = \frac{1}{t} dt$, $v = t$ です。

$\int \ln t \, dt = t \ln t - \int 1 \, dt = t \ln t - t$

よって、$\int x \ln(x^2+1) \, dx = \frac{1}{2} ( (x^2+1) \ln(x^2+1) - (x^2+1) ) + C = \frac{1}{2} (x^2+1) (\ln(x^2+1) - 1) + C$

(4) $\int x^n \ln |x| \, dx$

部分積分を行います。$u = \ln |x|$, $dv = x^n \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ ($n \neq -1$) です。

$\int x^n \ln |x| \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \ln |x| - \int \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \ln |x| - \frac{1}{n+1} \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \ln |x| - \frac{1}{(n+1)^2} x^{n+1} + C = \frac{x^{n+1}}{n+1} (\ln |x| - \frac{1}{n+1}) + C$

$n = -1$ のときは、$\int \frac{\ln |x|}{x} dx = \int \ln |x| (\ln |x|)' dx = \frac{1}{2} (\ln |x|)^2 + C$

(5) $I = \int \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx$, $J = \int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} \, dx$

$I+J = \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} \, dx = \int 1 \, dx = x + C_1$

$J-I = \int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x + \cos x} \, dx = \int \frac{(\sin x + \cos x)'}{\sin x + \cos x} \, dx = \ln |\sin x + \cos x| + C_2$

$2I = (I+J) - (J-I) = x - \ln |\sin x + \cos x| + C$

$2J = (I+J) + (J-I) = x + \ln |\sin x + \cos x| + C$

よって、$I = \frac{1}{2} (x - \ln |\sin x + \cos x|) + C$, $J = \frac{1}{2} (x + \ln |\sin x + \cos x|) + C$

(6) $I = \int \sin(\ln |x|) \, dx$, $J = \int \cos(\ln |x|) \, dx$

部分積分を行います。

$I = \int \sin(\ln |x|) \, dx = x \sin(\ln |x|) - \int x \cos(\ln |x|) \cdot \frac{1}{x} dx = x \sin(\ln |x|) - \int \cos(\ln |x|) dx = x \sin(\ln |x|) - J$

$J = \int \cos(\ln |x|) \, dx = x \cos(\ln |x|) - \int x (-\sin(\ln |x|)) \cdot \frac{1}{x} dx = x \cos(\ln |x|) + \int \sin(\ln |x|) dx = x \cos(\ln |x|) + I$

$I = x \sin(\ln |x|) - J = x \sin(\ln |x|) - (x \cos(\ln |x|) + I)$

$2I = x (\sin(\ln |x|) - \cos(\ln |x|))$

$I = \frac{x}{2} (\sin(\ln |x|) - \cos(\ln |x|)) + C$

$J = x \cos(\ln |x|) + I = x \cos(\ln |x|) + \frac{x}{2} (\sin(\ln |x|) - \cos(\ln |x|)) = \frac{x}{2} (\sin(\ln |x|) + \cos(\ln |x|)) + C$

(7) $I = \int e^{ax} \sin bx \, dx$, $J = \int e^{ax} \cos bx \, dx \quad (ab \neq 0)$

部分積分を行います。

$I = \int e^{ax} \sin bx \, dx = \frac{1}{a}e^{ax} \sin bx - \int \frac{1}{a}e^{ax} b \cos bx \, dx = \frac{1}{a}e^{ax} \sin bx - \frac{b}{a} J$

$J = \int e^{ax} \cos bx \, dx = \frac{1}{a}e^{ax} \cos bx - \int \frac{1}{a}e^{ax} (-b \sin bx) \, dx = \frac{1}{a}e^{ax} \cos bx + \frac{b}{a} I$

$I = \frac{1}{a}e^{ax} \sin bx - \frac{b}{a} (\frac{1}{a}e^{ax} \cos bx + \frac{b}{a} I)$

$I = \frac{1}{a}e^{ax} \sin bx - \frac{b}{a^2}e^{ax} \cos bx - \frac{b^2}{a^2} I$

$I(1 + \frac{b^2}{a^2}) = \frac{e^{ax}}{a^2} (a \sin bx - b \cos bx)$

$I = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \sin bx - b \cos bx) + C$

$J = \frac{1}{a}e^{ax} \cos bx + \frac{b}{a} I = \frac{1}{a}e^{ax} \cos bx + \frac{b}{a} \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \sin bx - b \cos bx) = \frac{e^{ax}}{a(a^2+b^2)} (a^2 \cos bx + ab \sin bx - b^2 \cos bx) = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \cos bx + b \sin bx) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int \sin^{-1} x \, dx = x \sin^{-1} x + \sqrt{1-x^2} + C$

(2) $\int x \tan^{-1} x \, dx = \frac{1}{2}(x^2+1)\tan^{-1} x - \frac{1}{2}x + C$

(3) $\int x \ln(x^2+1) \, dx = \frac{1}{2} (x^2+1) (\ln(x^2+1) - 1) + C$

(4) $\int x^n \ln |x| \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} (\ln |x| - \frac{1}{n+1}) + C$ ($n \neq -1$), $\int \frac{\ln |x|}{x} dx = \frac{1}{2} (\ln |x|)^2 + C$ ($n = -1$)

(5) $I = \frac{1}{2} (x - \ln |\sin x + \cos x|) + C$, $J = \frac{1}{2} (x + \ln |\sin x + \cos x|) + C$

(6) $I = \frac{x}{2} (\sin(\ln |x|) - \cos(\ln |x|)) + C$, $J = \frac{x}{2} (\sin(\ln |x|) + \cos(\ln |x|)) + C$

(7) $I = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \sin bx - b \cos bx) + C$, $J = \frac{e^{ax}}{a^2+b^2} (a \cos bx + b \sin bx) + C$