関数 $f(x) = |x|$ が $x=0$ で微分可能でないことを示す。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x|$ が $x=0$ で微分可能でないことを示す。

2. 解き方の手順

関数の微分可能性は、ある点における左右からの極限が存在し、かつそれらが一致する場合に保証されます。つまり、$x=a$ で $f(x)$ が微分可能であるためには、以下の極限が存在し、一致する必要があります。

左極限：

$\lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

右極限：

$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

今回は $a=0$ であり、$f(x) = |x|$ なので、それぞれを計算します。

まず、$x=0$ における左極限を計算します。

$f(0) = |0| = 0$ です。

$h < 0$ のとき、$|h| = -h$ であることに注意すると、

$\lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-1) = -1$

次に、$x=0$ における右極限を計算します。

$h > 0$ のとき、$|h| = h$ であることに注意すると、

$\lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0^+} (1) = 1$

左極限は $-1$ であり、右極限は $1$ です。

$-1 \ne 1$ であるため、左右の極限は一致しません。

したがって、$f(x) = |x|$ は $x=0$ で微分可能ではありません。

3. 最終的な答え

$f(x) = |x|$ は $x=0$ で微分可能でない。