$u = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$ とおくとき、$t$ を $u$ の式で表し、不定積分 $\int \sqrt{u^2+1} du$ を求めよ。

## 問題311

1. 問題の内容

$u = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$ とおくとき、$t$ を $u$ の式で表し、不定積分 $\int \sqrt{u^2+1} du$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $t$ を $u$ の式で表す。

$u = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$ より、$2u = e^t - e^{-t}$ となる。両辺に $e^t$ をかけると、

$2ue^t = e^{2t} - 1$

$e^{2t} - 2ue^t - 1 = 0$

これは $e^t$ に関する二次方程式なので、解の公式より、

$e^t = \frac{2u \pm \sqrt{4u^2 + 4}}{2} = u \pm \sqrt{u^2+1}$

ここで、$e^t > 0$ である必要があるので、$e^t = u + \sqrt{u^2+1}$ となる。（$u - \sqrt{u^2+1}$は常に負になる）

したがって、$t = \log(u + \sqrt{u^2+1})$

(2) 不定積分 $\int \sqrt{u^2+1} du$ を求める。

$u = \frac{e^t - e^{-t}}{2}$ とおくと、$\frac{du}{dt} = \frac{e^t + e^{-t}}{2}$ となる。また、$u^2 + 1 = (\frac{e^t - e^{-t}}{2})^2 + 1 = \frac{e^{2t} - 2 + e^{-2t}}{4} + 1 = \frac{e^{2t} + 2 + e^{-2t}}{4} = (\frac{e^t + e^{-t}}{2})^2$

$\sqrt{u^2 + 1} = \frac{e^t + e^{-t}}{2}$

$\int \sqrt{u^2 + 1} du = \int \frac{e^t + e^{-t}}{2} \cdot \frac{du}{dt} dt = \int \frac{e^t + e^{-t}}{2} \cdot \frac{e^t + e^{-t}}{2} dt = \int (\frac{e^t + e^{-t}}{2})^2 dt$

$= \int \frac{e^{2t} + 2 + e^{-2t}}{4} dt = \frac{1}{4} \int (e^{2t} + 2 + e^{-2t}) dt = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} e^{2t} + 2t - \frac{1}{2} e^{-2t}) + C$

$= \frac{1}{8} (e^{2t} - e^{-2t}) + \frac{1}{2} t + C = \frac{1}{4} (e^{t} + e^{-t})(e^{t} - e^{-t})/2 + \frac{1}{2} t + C$

$= \frac{1}{2} (e^{t} + e^{-t})u + \frac{1}{2} t + C$

$e^t = u + \sqrt{u^2 + 1}$ より、$e^{-t} = \frac{1}{e^t} = \frac{1}{u + \sqrt{u^2 + 1}} = \frac{u - \sqrt{u^2 + 1}}{u^2 - (u^2+1)} = -u + \sqrt{u^2 + 1}$

$e^t + e^{-t} = u + \sqrt{u^2 + 1} - u + \sqrt{u^2 + 1} = 2\sqrt{u^2 + 1}$

したがって、$\int \sqrt{u^2 + 1} du = \frac{1}{2} (2\sqrt{u^2 + 1})u + \frac{1}{2} t + C = u\sqrt{u^2 + 1} + \frac{1}{2} \log(u + \sqrt{u^2 + 1}) + C$

3. 最終的な答え

$t = \log(u + \sqrt{u^2+1})$

$\int \sqrt{u^2 + 1} du = \frac{1}{2}u\sqrt{u^2 + 1} + \frac{1}{2}\sinh^{-1}(u) + C$

ここで $\sinh^{-1}(u)=\log(u + \sqrt{u^2 + 1})$ である。