与えられた関数 $u(x, y)$ を、$x$ と $y$ でそれぞれ偏微分する問題です。具体的には、以下の6つの関数について、$u_x = \frac{\partial u}{\partial x}$ と $u_y = \frac{\partial u}{\partial y}$ を求める必要があります。 (1) $u(x, y) = x^2y^2$ (2) $u(x, y) = x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{2}{3}}$ (3) $u(x, y) = x^2y^{-\frac{1}{3}}$ (4) $u(x, y) = x^ay^b$ (5) $u(x, y) = \frac{x^2}{y}$ (6) $u(x, y) = x^4 + \log y$

1. 問題の内容

与えられた関数 $u(x, y)$ を、$x$ と $y$ でそれぞれ偏微分する問題です。具体的には、以下の6つの関数について、$u_x = \frac{\partial u}{\partial x}$ と $u_y = \frac{\partial u}{\partial y}$ を求める必要があります。

(1) $u(x, y) = x^2y^2$

(2) $u(x, y) = x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{2}{3}}$

(3) $u(x, y) = x^2y^{-\frac{1}{3}}$

(4) $u(x, y) = x^ay^b$

(5) $u(x, y) = \frac{x^2}{y}$

(6) $u(x, y) = x^4 + \log y$

2. 解き方の手順

偏微分の基本的な考え方は、ある変数で微分する際に、他の変数を定数として扱うことです。

(1) $u(x, y) = x^2y^2$ の場合：

* $u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = 2xy^2$

* $u_y = \frac{\partial u}{\partial y} = 2x^2y$

(2) $u(x, y) = x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{2}{3}}$ の場合：

* $u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{2}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}y^{\frac{2}{3}}$

* $u_y = \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{2}{3}x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{3}} = \frac{2\sqrt{x}}{3\sqrt[3]{y}}$

(3) $u(x, y) = x^2y^{-\frac{1}{3}}$ の場合：

* $u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = 2xy^{-\frac{1}{3}}$

* $u_y = \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{3}x^2y^{-\frac{4}{3}} = -\frac{x^2}{3y^{\frac{4}{3}}}$

(4) $u(x, y) = x^ay^b$ の場合：

* $u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = ax^{a-1}y^b$

* $u_y = \frac{\partial u}{\partial y} = bx^ay^{b-1}$

(5) $u(x, y) = \frac{x^2}{y}$ の場合：

* $u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{2x}{y}$

* $u_y = \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{x^2}{y^2}$

(6) $u(x, y) = x^4 + \log y$ の場合：

* $u_x = \frac{\partial u}{\partial x} = 4x^3$

* $u_y = \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{y}$

3. 最終的な答え

(1) $u_x = 2xy^2$, $u_y = 2x^2y$

(2) $u_x = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}y^{\frac{2}{3}}$, $u_y = \frac{2}{3}x^{\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{3}}$

(3) $u_x = 2xy^{-\frac{1}{3}}$, $u_y = -\frac{1}{3}x^2y^{-\frac{4}{3}}$

(4) $u_x = ax^{a-1}y^b$, $u_y = bx^ay^{b-1}$

(5) $u_x = \frac{2x}{y}$, $u_y = -\frac{x^2}{y^2}$

(6) $u_x = 4x^3$, $u_y = \frac{1}{y}$