問題3では、逆三角関数と対数の値を求める問題です。 (1) $\sin^{-1}(\frac{1}{2})$ (2) $\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ (3) $\log_{e^3} \frac{1}{e^3}$ (4) $\log_3 81$

1. 問題の内容

問題3では、逆三角関数と対数の値を求める問題です。

(1) $\sin^{-1}(\frac{1}{2})$

(2) $\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$

(3) $\log_{e^3} \frac{1}{e^3}$

(4) $\log_3 81$

2. 解き方の手順

(1) $\sin^{-1}(\frac{1}{2})$ は、$\sin(\theta) = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求める問題です。$\sin^{-1} x$ の値域は $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ であることに注意します。$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ なので、$\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ です。

(2) $\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ は、$\cos(\theta) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $\theta$ を求める問題です。$\cos^{-1} x$ の値域は $[0, \pi]$ であることに注意します。$\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、$\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3\pi}{4}$ です。

(3) $\log_{e^3} \frac{1}{e^3}$ は、対数の定義から $(e^3)^x = \frac{1}{e^3}$ となる $x$ を求める問題です。$\frac{1}{e^3} = e^{-3}$ なので、$(e^3)^x = e^{-3}$ となり、$e^{3x} = e^{-3}$ が得られます。したがって、$3x = -3$ より、$x = -1$ です。

(4) $\log_3 81$ は、対数の定義から $3^x = 81$ となる $x$ を求める問題です。$81 = 3^4$ なので、$3^x = 3^4$ となり、$x = 4$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{6}$

(2) $\frac{3\pi}{4}$

(3) -1

(4) 4