与えられた極限を計算します。 (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x}$

2. 解き方の手順

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$ を計算する。

$\frac{\sin 3x}{x} = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$であるから、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 = 1 \cdot 3 = 3$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x}$ を計算する。

$\frac{x}{\tan x} = \frac{x}{\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{x \cos x}{\sin x} = \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$であるから、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \cos x = 1 \cdot 1 = 1$

3. 最終的な答え

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x} = 1$