$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2}}$ の値を求めよ。Aさんは $\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x} = 1$ と答えたが、これは誤りである。その理由を説明せよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2}}$ の値を求めよ。Aさんは $\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x} = 1$ と答えたが、これは誤りである。その理由を説明せよ。

2. 解き方の手順

$\sqrt{x^2}$ は $x$ が正の数の場合は $x$ に等しく、負の数の場合は $-x$ に等しくなります。つまり、$\sqrt{x^2} = |x|$ です。

$x \to -\infty$ の場合、$x$ は負の数であるため、$\sqrt{x^2} = |x| = -x$ となります。

したがって、

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x}$$

となります。ここで、$x \ne 0$ なので、$\frac{x}{-x} = -1$ となります。

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x} = \lim_{x \to -\infty} -1 = -1$$

Aさんは、$x \to -\infty$ の場合に $\sqrt{x^2} = x$ と考えてしまったため、誤った答えになりました。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2}} = -1$

Aさんの間違いは、$x \to -\infty$ の場合に $\sqrt{x^2} = -x$ となるべきところを $\sqrt{x^2} = x$ と考えてしまったことです。